函数方程的几种解法

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解函数方程的几种方法

李素真

摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程

求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。

关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法



含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。

1.换元法

换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。

例1 已知f(2x)xsinx，求f(x)。

（u0）解：令2xu ，则xlog2u，于是可得，

f(u)(log2u)sin(log2u)

2

（u0），以x代替u，得f(x)log2xsin(log2u) (x0)。

2

例2 已知f(

1x2x

)ln (x0)，求f(x)。 x12x

1

1x1t1ln2， 解：令 (t1)，于是f(t)lnt，则x

1t1xt112t1

2

即f(x)ln

2。 x1

例3 已知f(1cosx)cos2x，求f(x)。

解：原式可以化为 f(1cosx)cos2x2cos2x1，令1cosxt，t[0,2]，则换


元后有f(t)2(x1)1 x[0,2]。

2

2.待定系数法

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。

例4 已知f(x)为多项式函数，且f(x1)f(x1)2x22x4，求f(x)。

解：由于f(x1)与f(x1)不改变f(x)的次数，而它们的和是2次的，所以f(x)为二次函数，故可设f(x)ax2bxc，从而有

f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax2bx2(ac)

由已知条件得 2ax22bx2(ac)2x22x4 根据两个多项式相等的条件得

2



2a2，2b2，2(ac)4，由此得a1，b1，c1，故有f(x)x2x1。

例5 已知f(x)是x的二次函数，且f[f(x)]x42x2，求f(x)。

解：因为c是x的二次函数，故可设f(x)ax2bxc，由此，

f[f(x)]af2(x)bf(x)ca(ax2bxc)b(ax2bxc)c

将

上

式

化

简

并

代

入

2

f[f(x)]x42x2

，得

3423222224

ax2abx(ab2acab)x(2abcb)x(acbcc)x2x

比较对应项的系数有


a312

a12ab0a222cab2

，解之得b0 ，故f(x)x21。 ab

2abcb20c1

2

acbcc0



3.解方程组法

此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。

例6 设f(x)是对x0及x1以外的一切实数有定义的实值函数，并且

f(x)f(

x1

)1x，求f(x)。 x

解：以

x1x112x1

)f()代换x， 得 f(。

xx1xx112x

)f(x)代换x， 得 f(。

1x1x1x

以

由 f(x)f(

x112xx112x1

)1x f()f(x))f() f( x1x1xx1xx

x11x3x21)，f() 得 f(x)消去f(,(x0,1)。 x1x2x(x1)

例7 解函数方程3f(x)2f()4x

解：函数方程中的未知函数f(x)和f()不能用x的同一个解析式表达出，若把它们看作是方程中的两个未知元，就必须设法消去一个才能解出另一个。 为此，分别以t和

1

x

1x

11

)2f() t和4代替方程中的x，相应地得到 3f(t

tt

114

3f()2f(t)。 将该两式看作是关于未知元f(t)和f()的二元一次方程组，即可

ttt

812t2812x28

求解。得5f(t)12t。于是f(t)。即f(x)为函数方程的解。

t5t5x


例8 f(x)是定义在0,上的实值函数，且f()f(x)lgx1，求f(x)。

1111lgx

,(x0)。 代替x，得f(x)f()(lgx)1 消去f()，得f(x)

xxx1lgx

1

x

解：以

4.参数法

参数法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出f(x)的表达式。

例9 已知f(1cosx)sin2x，求f(x)。

x1cots

2

ysint解：设所求函数yf(x)的参数表达式为

2

costx1

2

sinty。 ，所以

联立方程组消去参数t，得(x1)y1，所以y1(x1)2,x0,2。 即f(x)1(x1)2,x0,2。

例10 已知f(2cosx)5sin2x，求f(x)。

解：设所求函数yf(x)的参数表达式为：

2

x2cotsy5si2nt

2

，所以

cost2xsin2t5y

。

联立方程组消去参数t，得yx4x8，即f(x)x4x8,x1,3。

参考文献：

【1】高夯，现代数学与中学数学（第二版）[M]，北京：北京师范大学出版社，2010. 【2】姚开成，函数方程的几种解法[J]，新疆石油教育学院学报，2000. 【3】聂锡军，函数方程的解法及应用[J]，丹东师专学报，1997.

【4】胡皓，函数方程的一些解法[J]，西昌师范高等专科学校学报，2002. 【5】刘维江，函数方程的解法及应用[J]，安顺师专学报，2001. 【6】徐凤林，几类函数方程的解法[J]，山东轻工业学院学报，2007.

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