最短距离

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最短距离问题

◎知识聚焦

所谓最短距离，就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及的定理： 1、两点之间，线段最短； 2、垂线段最短。 常用思考的方式： 1、把立体转化为平面； 2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A

点爬行到C点，那么，最近的路程长为（ ）

A．7 B．



C．

D．5

二、在长方体（正方体）中，求最短路程

例1：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ） A．5

cm

B．

cm

C．4

cm

D．3

cm



例2：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ） A．4.8

B．

C．5 D．





三、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.

例1：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。



2.在等腰Rt△ABC中，CA=CB，E是BC上一点，且BE=2，P是斜边AB上一动点，则PC+PE的长度之和的最小值是（ ）

A、

10 B、11 C、12 D、13

3．（2005•河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为

_____________

6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_________

7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，

点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是___________

9．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为________



10．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，0），P是直线y=x上的点，当PA+PB最小时，试求P点的坐标

1．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ） A．8 B．8.8 C. 9.8 D．10








二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

2．在直角坐标系中，已知两点A（-8，3）、B（-4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值m/n为（ ） A、-2/3 B、-2 C、-3/2 D、0



2．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ） A、2 B、4 C、

8 D.8



1．如图，在锐角三角形ABC中，BC=

42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，

M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．

11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．

（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q

分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．



三、题中出现三个动点时。

在求解时应注意两点：

(1)作定点关于动点所在直线的对称点,

(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.



4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点

Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为_____________．

总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用

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