正弦定理的证明

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正弦定理的证明

（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则

同理可得从而

a

sinA

a

sinA



b

sinB



c

sinC



b

sinB



于涉及边长问题，

b

sinB

c

sinC

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（方法二）利用向量证明

如图，在ABC中，过点A作一个单位向量j，使jAC。



当BAC为钝角或直角时，同理可证上述结论。 从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

使aksinA，bksinB，cksinC；

a

sinA



b

sinB



c

sinC



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（2）

a

sinA



b

sinB



c

sinC

等价于

a

sinA



b

sinB

，

c

sinC



b

sinB

，

a

sinA



c

sinC



下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。 （方法三）利用复数证明

如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，交于点D．



根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出



（方法四）利用ABC的外接圆证明Ⅰ 如图，O是ABC的外接圆，设半径为R，分

OB、OC，过点

O

别连结OA、

作ODBC,垂足为D。

证明：



（方法五）利用ABC的外接圆证明Ⅱ

如图，O是ABC的外接圆，设半径为R，连结BO并延长，交 O于点D，连结AD。



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