试析数学思想的含义及基本特征

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试析数学思想的含义及基本特征

江苏省连云港教育科学研究所 臧雷



近几年数学教育界议论的热门话题之一是“数学思想”这一术语。那么，究竟什么是数学思想呢？目前还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识。为了深化数学思想的教学，有必要对数学思想的基本含义、特征进行探讨。

一、数学思想的基本含义

如何理解数学思想是人们对“数学科学的本质及规律的深刻认识”呢？笔者认为应该从以下两个方面来理解。一种是狭义理解，主要是就中学数学知识体系而言。中学数学思想往往是指数学思想中最常见、最基本、较浅显的内容。比如函数思想、化归思想等等。这些最常见、最基本的数学思想也是从某些具体的数学认识过程中提升出来的认识结果或观点，并在后继的认识活动中被反复运用和证实其正确性。例如当我们具体求解方程2x+3=0时，认识到解形如ax+b=0这种方程就是转化为x=A这种形式，并且还能进一步认识到解形如ax2+bx+c=0的方程，实质上也是转化为x2=A再转化x2=B这种形式。因而，确认这种认识（化归思想）是解方程的“法宝”。所以，在中学数学教学中，人们普遍比较重视这种认识结果的应用的数学。我们经常会在各种数学期刊上发现“浅谈××思想的教学”、“××思想的应用”这类文章，也就不足为怪了。另一种是广义理解，即数学思想除以上所述内容外，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识。“数学思想的历史是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是哲学家和数学家的数学观发展的历史”，从数的概念的形成和发展，到微积分的产生及现代数学各分支的形成，即对数学发展中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识都可以纳入数学思想范畴。就中学数学知识内容而言，数的演变与形成，负数产生的背景，数轴概念的形成直至函数理论体系的发展过程等，都体现数学研究和发展的思想。又如数学中的许多规定。如a=1(a≠0),0!=1等，探究规定的合理性、必要性、优越性也就是探究者数学思想的发展过程。数学知识的发展过程也是参与者数学思想的孕育、发生过程。因此，数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，又包括对数学的起源和发展，数学的本质和特征，数学内容各分支各体系之间对立统一关系的认识，数学与现实世界的关系及地位作用的认识。

顺便再谈谈对数学思想方法的认识。一般来讲，数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段。我们可以作一个比喻，数学思想相当于建筑的一张蓝图，数学方法则相当于建筑施工的手段。数学思想的内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华。若从狭义角度理解数学思想，往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法。比如，用“化归”去解方程



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,就是化归方法，

而当评价它在数学体系中的自身价值的意义时，又可称之为数学思想，比如考察“化归”在整个方程体系中的价值和意义时，就会自然将其升华为化归思想。若从广义角度理解，人们比较注重数学发展中的重大贡献、数学家的创见和发明，突出其文化功能、思想价值，以及对社会、科技进步、发展的意义，因而更多称之为数学思想。

二、数学思想的基本特征

1．导向性。所谓数学思想的导向性是指：它是研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略。数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限思想是微积分理论的基础，


又是解决许多数学问题的重要方法。而在解决具体问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。例如，解一元二次方程问题，尽管化归思想指导思维活动定向于目标x=A,但具体采用哪种化归方法如配方法还是因式分解，还需具体问题具体分析。数学思想的导向性的重要价值被爱因斯坦的名言所佐证：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”

2．统摄性。数学思想对于具体的数学知识和方法具有巨大的凝聚力，它是联系知识的纽带，具有举一纲而万目张的作用。数学思想的统摄性主要表现在两个方面。一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即是有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也是造成学生数学能力发展不平衡的主要因素。正像金刚石和石墨都是由六个碳原子组成，但由于碳原子的结构方式不同，前者十分坚硬，后者非常松软，用映射思想可以将纵横两方面的数学知识联结。起到化繁为简、化难为易、化不可能为可能的作用。例如，用对数（映射）方法可将来问题中乘、除、乘方和开方分别化为较低层次的加、减、乘、除运算。用坐标法（映射）可将几何问题转化为代数中的数量关系。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则他们很难真正理解知识，深刻认识知识，因而，就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力就不可能得到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。比如学生在掌握了用降次、消元、有理化等方法解一般代数方程之后，对化归思想有了进一步的认识，因而就会把这种思想用于解其他超越方程中去，这就推动着学生数学认知结构的不断发展。

3．概括性。人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。例如，几何中研究各种各样的角，两角线相交所成的角，两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，这些角的度量方法最终可由化量思想的概括性统一为两相交直线的角来度量。数学思想的概括性还表现在客观存它能反映数学对象之间的联系和内部规律上，例如有关二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式等问题往往都可以归纳为一元二次函数图象与坐标轴交点间问题的探究，同时也反映了函数思想是对数学知识的高度概括。再如数学中一些基本方法：配方法、换元法、构造法、参数法等，进一步上升概括为化归方法，再进一步上升概括为映射思想。

4．迁移性。高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。例如，对几何中有关角的度量的概括性认识可以指导我们对二面角的研究，导致二面角平面角概念的建立，又如由圆内接正多边形边倍增而趋于圆来求圆面积的极限思想可以进一步发展为分割求和的微积分思想。希尔伯特的巨著《几何基础》是迄今为止用公理公思想建立数学体系的最典型的著作。另一方面，这种迁移性表现在数学外部：它还能沟通数学与其他科学，与社会的联系，产生更加广泛的迁移。如公理化思想已超越数学理论范围，渗透到其他学科领域。17世纪的唯心主义者斯宾莎仿效《几何原本》的公理化思想，把人的思想、情感和欲望等当作几何学中的点、线、面来研究，写出了名著《伦理学》；20世纪50年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化。

参考文献

1．周述岐.数学思想和数学哲学.北京：中国人民大学出版社，1993 2．张奠宙、数学方法论稿.上海：上海教育出版社，1996

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