全国初中数学竞赛试题及答案

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全国初中数学竞赛试题及答案





全国初中数学竞赛试题及答案 1. 角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握： (1)三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大;cosa与ctga随a的值增大而减小;当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到sin45=cos45= ,由(1)可知,当时0sina;当45

(2)三角函数的有界性|sina|1,|cosa|1,tga、ctga可取任意实数值(这一点可直接利用三角函数定义导出).

例1(1986年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )

(A)锐角 (B)钝角 (C)直角

分析 对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论. 解当A=90时，sinA和cosA=1; 当45 ，cosA0，

sinA+cosA 当A=45时，sinA+cosA= 当00,cosA sinA+cosA ∵ 1, 都大于 . 淘汰(A)、(C)，选(B).

例2(1982年上海初中数学竞赛题)ctg6730的值是( )


(A) -1 (B)2- (C) -1

(D) (E) 分析 构造一个有一锐角恰为6730的Rt△，再用余切定义求之. 解 如图36-1，作等腰Rt△ABC，设B=90，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC= ，D=22.5,DCB=67.5.这时， ctg6730=ctgDCB= 选(A).

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