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浅谈有关数学绝对值的几个问题
绝对值是数学中一个非常基本，同时又是应用非常广泛的概念。它既简化了代数中很多概念﹑法则﹑定律和定理的表述，而且搭起了抽象的数与具体的几何图形相联系的桥梁。
初中数学在负有理数相反数和数轴引入之后才安排了绝对值内容。老版教材由于代数式引入较迟，绝对值概念只能用文字表达，辅助以一些具体数的例子进行说明。新版教材则先介绍了代数式这一经典的方法或工具，从而可以利用代数式对绝对值作出简单明了的定义。为了对绝对值这一概念有更直观的理解，进一步借助数轴说明了绝对值的几何意义。这种安排很好地体现了新旧知识之间的相互衔接和前后内容循序渐进的特性。
求一个数的绝对值如同求一个数的相反数一样，都是一种数学运算。但是它们不同于通常的加法减法乘法和除法运算。后四种运算（也即所谓的四则运算）需要两个数的参与才能进行，是双目运算；而前两种运算只有一个数参与运算，是单目运算。双目运算在小学数学教材中谈论的比较多，但单目运算则刚刚论及，是一个新种类的运算。
绝对值在初中数学中的作用不言而喻，教学中应当给予足够的重视。我们不仅要清楚绝对值问题的起源，还要知道它的广泛运用。
一﹑初中数学在数的第一次扩张（即添加了负有理数）后通过纯粹代数的方法定义了绝对值。如果a是个有理数，那么a的绝对值（记作|a|）定义成
aa0
|a|=0a=0
-aa<0
。由此式可以发现，绝对值的定义借助了相反数的表示，
是相反数内容的一个应用。绝对值的定义式也可以用文字表述为：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。通过这段文字进一步让我们看到，绝对值是以相反数为中介，综合了有理数以正负零标准分类的各种情况，实际上是有理数脱掉符号后的数值部分。在绝对值的三分支定义中，零的绝对值单独归为一类，但是后继的内容中，常常要对绝对值进行二分支定义，明显的是可以考虑把零归为正数类或负数类。在处理把零归为正数类或负数类的过程中，有一个规定需要注意：零的相反数是零。据此，易得绝对值得二分支定义：非负数（0和正数）的绝对值是它本身，非正数（0和负数）的绝对值是它的相反数。经过发散性思维讨论了有理数的绝对值之后，归纳出两个结论：一个数的绝对值总是个非负数；互为相反数的两个数的绝对值相等。初中数学中有些问题就是源自这些简单的结论。
例一﹑已知x2y3z240,求zxy的值。 例二﹑问a取什么值时，
a
有意义。
5a100
例三﹑证明：x373x是常数。
二﹑绝对值在简化有理数四则运算法则的表示和表述中发挥着重要作用。在有理数四则运算中，加法和乘法是两种最基本的运算，而减法和除法可以分别转
化成加法和乘法运算。这些运算的运算法则可以代数化，但若不借助绝对值，此项工作估计难以完成。
sgn(a)(a+b) 若a,b同号
加法法则 ab=sgn(a)(ab) 若a,b异号且ab，式中sgn( )表示对
sgn(b)(ba) 若a,b异号且ba
括号中的数进行取符号运算。后两式可以简化成一个式子，取前者或取后者都可以。为什么？从加法的交换律角度看，a与b位置等同，而右端后两式正好互换了a与b的位置。再从另一方面来看，由于
sgn(b)(ba)sgn(b)(ab)sgn(a)(ab)，说明前面的断言是正确的。所
sgn(a)(a+b) 若a,b同号
以简化后的加法法则就变成了ab=。一个加数为零
sgn(a)(ab) 若a,b异号
和两个加数互为相反数的情形也已经包含在这个式子中。
减法法则 a-b=a+(-b).
a.b a与b同号
乘法法则 a.b=。由于零既可以看成正数，也可以看
（a.b） a与b异号
成负数，因此，该表示式中已经蕴含了因数为零的情形。
1
除法法则 当b0时，aba.。
b
三﹑在有理数扩张为实数的时候，又对实数的绝对值进行了定义。从形式上看，实数的绝对值与有理数的绝对值没有什么差异，而且都采取了“正数﹑零和负数”三分支定义法。但是数的取值范围变得更宽了，表达式中字母的取值也由有理数扩展为实数。这种似乎重复的定义有没有必要呢？也即通过有理数绝对值的定义和有理数扩张成实数的方法能否得出全体实数的绝对值呢？若把实数的绝对值定义为实数的一个范数，由于有理数的范数不能唯一决定它的完备化（在此即实数）的范数，属于实数的绝对值需要进行定义，而且这种定义当局限于其子类—有理数时，要保证与子类的定义不相冲突。
有理数都可以表示成整数和分数，可是实数的表达方式多种多样。因此，判断实数的正负是解决实数绝对值问题的关键。
1
例四、化简 32962。
2
例五、比较 21与32的大小。
四﹑绝对值知识除了在四则运算方面有所运用之外，在其它许多方面也有广泛的运用。
1﹑在代数方面。如算术平方根的化简 a2a（其中a是任意实数）；又如不等式﹑函数﹑方程中的绝对值问题。
2例六﹑化简 a2。 （a）
例七﹑解不等式 x670。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/fcfb874de718964bcf84b9d528ea81c758f52e4b.html
2023-01-11
