2020年河北省保定市高考数学一模试卷(文科)

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2020年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A＝{x|x＞2或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤4}．则A∩B＝（ ） A．{x|2＜x＜4} 2．（5分）若复数A．﹣1+i

B．{x|﹣1＜x≤2}

C．{x|2＜x≤4}

D．{x|﹣1≤x≤4}

，则＝（ ） B．1﹣i

C．﹣2+i

D．2﹣i

3．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ） A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

4．（5分）已知与均为单位向量，若A．30°

B．45°

，则与的夹角为（ ） C．60°

D．120°

5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为（ ） A．钱

B．钱

C．钱

D．钱

6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝（ ） A．

B．2

C．



D．



7．（5分）一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）


A． B． C． D．

8．（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x∈（﹣1，6），则输出的y∈（ ）



A．（0，7）

B．



C．[0，7]

D．



9．（5分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n（n≥10）个城市职工购买食品的人均支出y（千元）与人均月消费支出x（千元）具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.4x+1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为（ ） A．60%

B．64%

C．58%

D．55%

10．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：②A，B，O确定一个平面；

，则S100＝（ ）

；

A．29 B．40 C．45 D．50

11．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F1（0，1），M（3，3）在椭圆外，

点P为椭圆上的动点，若|PM|﹣|PF1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．



C．

D．

12．（5分）已知函数在x＝x0处取得最大值，则下列选项正确的是（ ）

A． B．


C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）若2a＝10，b＝log510，则

＝ ．

14．（5分）已知2sinθ+3cosθ＝0，则＝ ．

15．（5分）Rt△ABC中，，BC＝6，以BC的中点为圆心，以1为半径的圆，分别

交BC于点P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2═ ．

16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为3，f（2）＝0，则函数f（x）在区间（﹣2，3）上的零点个数最少为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）若a，b，c成等比数列，求证：B≤60°； （2）若

（A为锐角），

，求△ABC中AB边上的高h．

．

18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，△ABE和△BCF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠BCF＝∠DAE＝90°，EA∥FC． （1）求证：ED∥平面BCF； （2）设

，问是否存在λ，使得棱锥A﹣BDF的高恰好等于

BC？若存在，求出

λ的值；若不存在，请说明理由．




19．（12分）习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来．”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代．

“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为： “seizethedayandliveittothefull．”

（1）求上述英语译文中，e，i，t，a四个字母出现的频率（小数点后面保留两位有效数字），并比较四个频率的大小；（用“＞”连接）

（2）在上面的句子中随机取一个单词，求其所含的字母个数为3的概率；

（3）在“and”前面的三个单词和后面的五个单词中，各随机任取一个单词，求二者字母个数之和为5的概率．

20．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D． （1）若|AB|＝8，求直线l的方程；

（2）若点M在抛物线上且|MF|＝2．求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．




21．（12分）已知函数小值为

．

0）的图象上的动点P到原点O的距离的平方的最

（1）求m的值； （2）设f

，若函数f（x）有两个极值点x1x2，且x1＜x2，证明：

．（参考公式：



（二）选考题：共10分．请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），M是C1上

的动点，点P满足

，且其轨迹为C2．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE与C1、C2交点分别为A、B（均异于O），求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|． （1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；

（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．




2020年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A＝{x|x＞2或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤4}．则A∩B＝（ ） A．{x|2＜x＜4}

B．{x|﹣1＜x≤2}

C．{x|2＜x≤4}

D．{x|﹣1≤x≤4}【解答】解：∵集合A＝{x|x＞2或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤4}． ∴A∩B＝{x|2＜x≤4}． 故选：C．

2．（5分）若复数，则＝（ ） A．﹣1+i B．1﹣i

C．﹣2+i

D．2﹣i

【解答】解：∵

＝

＝

，

∴．

故选：B．

3．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β， ∵n⊥β，



）
∴n⊥l． 故选：C．

4．（5分）已知与均为单位向量，若A．30°

B．45°

，则与的夹角为（ ） C．60°

D．120°

【解答】解：设与的夹角为θ；

因为与均为单位向量，

∵⇒•（2+）＝2•+＝0，

∴2×1×1×cosθ+12＝0⇒cosθ＝﹣；

因为θ为向量的夹角，所以θ＝120°； 故选：D．

5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为（ ） A．钱

B．钱

C．钱

D．钱

【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5， ∴a＝1，d＝﹣

∴五人中所得的最少钱数为1+2d＝1﹣＝，


故选：D．

6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝（ ） A．

B．2

C．



D．



【解答】解：由题意，得acosC+ccosA＝2bcosB， 由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC＝2sinBcosB， 即sin（A+C）＝2sinBcosC， ∵A+C＝π﹣B，0＜B＜π， ∴sin（A+C）＝sinB≠0， ∴cosB＝，

∴B＝，

∵△ABC外接圆的半径为1， ∴

＝2r＝2，

∴b＝2×＝，

故选：C．

7．（5分）一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．



B．



C．



D．



【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，


设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2r＝＝，

∴r＝，

所以R＝＝，

所以球的表面积S＝4＝．

故选：A．

8．（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x∈（﹣1，6），则输出的y∈（ ）



A．（0，7）

B．



C．[0，7]

D．



【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量y＝

的值，

若输入的x∈（﹣1，6），

则x∈（﹣1，2]时，y＝x2∈[0，4]； x∈（2，5]时，y＝2x﹣3∈（1，7]； x∈（5，6]时，y＝∈[，]；

综上，输出的y∈[0，7]． 故选：C．


9．（5分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n（n≥10）个城市职工购买食品的人均支出y（千元）与人均月消费支出x（千元）具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.4x+1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为（ ） A．60%

B．64%

C．58%

D．55%

【解答】解：把x＝5代入回归方程y＝0.4x+1.2中，得y＝0.4×5+1.2＝3.2； 则该城市职工的月恩格尔系数约为

＝0.64＝64%．

故选：B．

10．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：②A，B，O确定一个平面；

，则S100＝（ ）

；

A．29 B．40 C．45 D．50

【解答】解：因为，且A，B，O确定一个平面

所以A、B、C三点共线，且A、B、C、O四点共面． 又因为

，

所以a3+a98＝1．

又因为{an}是等差数列，所以故选：D．



11．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F1（0，1），M（3，3）在椭圆外，

点P为椭圆上的动点，若|PM|﹣|PF1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．



C．

D．


【解答】解：由通用的定义可得|PF1|＝2a﹣|PF2|，

所以|PM|﹣|PF1|＝|PM|+|PF2|﹣2a，当且仅当P，M，F2三点共线时，最小， 所以|PM|﹣|PF1|的最小值为|MF2|﹣2a＝2， 再由题意c＝1，F2（0，﹣1），|MF2|＝

＝5，

所以2a＝5﹣2＝3，即a＝，

所以离心率e＝＝＝；

故选：A． 12．（5分）已知函数

在x＝x0处取得最大值，则下列选项正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：∵f'（x）＝，

令f'（x）＝0，可知﹣lnx0﹣x0﹣1＝0，即lnx0＝﹣x0﹣1， 且f'（x）在x＞0时单调递减，

∵x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x0，+∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减，

∴x＝x0 时f（x）取最大值，，

∵f（e1）＜0，f（e2）＞0，

﹣

﹣

∴，，


∴

故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）若2a＝10，b＝log510，则

＝ 1 ．

【解答】解：∵2a＝10，∴a＝log210，b＝log510， 又

＝

＝log102，＝

＝

＝log105．

∴+＝log102+log105＝log1010＝1．

故答案是1．

14．（5分）已知2sinθ+3cosθ＝0，则

＝

．

【解答】解：∵2sinθ+3cosθ＝0， ∴

，

∴．

故答案为：．

15．（5分）Rt△ABC中，，BC＝6，以BC的中点为圆心，以1为半径的圆，分别

交BC于点P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2═ 56 ． 【解答】解：因为所以|AB|2+|AC|2＝36，

，BC＝6，


因为＝3，OP＝OQ＝1，

则在△APO中，由余弦定理可得，AP2＝1+9﹣6cos∠AOP＝10﹣6cos∠AOP， △AQO中，同理可得AQ2＝10﹣6cos∠AOQ＝10+66cos∠AOP， 所以AP2+AQ2＝20．

故|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2═56． 故答案为：56．



16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为3，f（2）＝0，则函数f（x）在区间（﹣2，3）上的零点个数最少为 4 ．

【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为3，f（2）＝0， 所以：f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝0； 且f（0）＝0；

所以：f（2）＝f（﹣1）＝f（1）＝f（0）＝0； 即函数f（x）在区间（﹣2，3）上至少有4个根； ∴函数f（x）在区间（﹣2，3）上的零点个数最少为：4． 故答案为：4．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：


共60分．

17．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）若a，b，c成等比数列，求证：B≤60°； （2）若

（A为锐角），

，求△ABC中AB边上的高h．

．

【解答】解：（1）证明：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac；

而（当且仅当a＝c时取等号）

又因为B为三角形的内角，所以B≤60°； （2）在△ABC中，因为

，所以

．

又因为，，

所以由正弦定理，解得；

由得．

由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣2b﹣15＝0． 解得b＝5或b＝﹣3（舍）． 所以AB边上的高

．

18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，△ABE和△BCF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠BCF＝∠DAE＝90°，EA∥FC． （1）求证：ED∥平面BCF； （2）设

，问是否存在λ，使得棱锥A﹣BDF的高恰好等于

BC？若存在，求出

λ的值；若不存在，请说明理由．




【解答】解：（1）证明：矩形ABCD中，因为AD∥BC，AD⊄平面BCF， 所以AD∥平面BCF；

因为EA∥FC，EA⊄平面BCF， 所以EA∥平面BCF； 又AD∩EA＝A，

所以平面ADE∥平面BCF； 又ED⊂平面ADE， 所以ED∥平面BCF． （2）设AB＝a，BC＝b，由

＝λ得b＝λa；

在矩形ABCD和△BCF中， 易得BD＝DF＝

＝a

，BF＝

b；

所以在△BDF中，BF边上的高为：

h＝＝＝a；

又，

所以，由等体积法得：


，

即，解得λ＝1；

所以存在正实数λ＝1，使得三棱锥A﹣BDF的高恰好等于BC．

19．（12分）习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来．”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代．

“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为： “seizethedayandliveittothefull．”

（1）求上述英语译文中，e，i，t，a四个字母出现的频率（小数点后面保留两位有效数字），并比较四个频率的大小；（用“＞”连接）

（2）在上面的句子中随机取一个单词，求其所含的字母个数为3的概率；

（3）在“and”前面的三个单词和后面的五个单词中，各随机任取一个单词，求二者字母个数之和为5的概率．

【解答】解：（1）e，i，t，a四个字母出现的频率分别为：

，

其大小关系为：e出现的频率＞t出现的频率＞i出现的频率＞a出现的频率． （2）一共有9个单词，其中所含字母个数为3的单词有4个， 故所求的概率为．

（3）满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：

从“and”前面的三个单词和后面的五个单词中，各随机任取一个单词，


总共的情况有以下15种：

（seize，live），（seize，it），（seize，to），（seize，the），（seize，full） （the，live），（the，it），（the，to），（the，the），（the，full） （day，live），（day，it），（day，to），（day，the），（day，full），

其中符合条件的情况有以下4种：（the，it），（the，to），（day，it），（day，to）， 故二者字母个数之和为5的概率为

．

20．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D． （1）若|AB|＝8，求直线l的方程；

（2）若点M在抛物线上且|MF|＝2．求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．



【解答】解：（1）因为抛物线y2＝4x，所以抛物线焦点坐标为F（1，0）， ∵直线l 的斜率不为0，所以设直线l的方程为：x＝my+1，

由

得y2﹣4my﹣4＝0，

所以y1+y2＝4m，，

∴|AB|＝

，∴m2＝1，

∴m＝±1，


∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0；

（2）证明：因为|MF|＝2，所以由抛物线的定义可得，点M的横坐标为1， 故M（1，2）或M（1，﹣2），由（1）知D（

），

①M（1，2）时，则，，，

因为kMA+kMB＝，

由（1）知y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，代入上式得kMA+kMB＝，

显然2kMD＝kMA+kMB，

②若M（1，﹣2）时，仿上（或由对称性）可得2kMD＝kMA+kMB，

综上可得，对任意的直线f（0）＝1，直线a+b+c＝1，a，b的斜率始终依次成等差数列．

21．（12分）已知函数小值为

．

0）的图象上的动点P到原点O的距离的平方的最

（1）求m的值； （2）设f

，若函数f（x）有两个极值点x1x2，且x1＜x2，证明：

．（参考公式：



【解答】解：（1）设P（x0，y0）在函数的图象上，

则，

即，所以，

（2）证明：易得f（x）＝x2+aln（x+1），（x＞﹣1且x≠0）


所以（x＞﹣1且x≠0），

令g（x）＝2x2+2x+a，因为其对称轴为直线x＝

，

由题意知x1，x2是方程g（x）＝0的两个均大于﹣1且不为0的不相等的实根，

所以由，得，

因为g（0）＝a＞0， 所以

，

又x2为方程g（x）＝0的根，所以a＝﹣（2x22+2x2）， ∴

＝

，



则h'（x）＝2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x＝﹣2（2x+1）ln（1+x） 因为

时，h'（x）＞0，∴h（x）在[﹣，0）上单调递增；

∴当时，h（x）＞h（﹣）＝，且h（x）＜h（0）＝0，

故．

（二）选考题：共10分．请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），M是C1上

的动点，点P满足

，且其轨迹为C2．


（1）求C2的直角坐标方程；

（2）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE与C1、C2交点分别为A、B（均异于O），求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程． 【解答】解：（1）法1：设P（x，y），则由条件知M（

）．由于M点在C1上，

所以

从而C2的参数方程为（α为参数）

消去参数得到所求的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝16

法2：由（α为参数）得

即C1的直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2＝4 设P（x，y），则由条件知M（程 即

，化简得所求的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝16

）．由于M点在C1上，所以M的坐标适合上述方

（2）因为x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，代入上式得C1的直角坐标方程得，其极坐标方程为ρ＝4sinθ

同理可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ 设Q（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ）， 则AB的中点Q的轨迹方程为

＝6sinθ

即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为ρ＝6sinθ [选修4-5：不等式选讲]


23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|． （1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；

（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc． 【解答】解：（1）因为a＝b＝c＝1，

所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，

法1：由上可得：

所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；

法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2， 当且仅当

，即x＝﹣1时取得最小值2；

证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，

即证明就行了，

法1：因为＝≥2+2+2＝2

（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．

又因为f（0）＝1即 a+b+c＝1且a，b，c不全相等，

所以，

即，

法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，

又因为f（0）＝1即 a+b+c＝1且a，b，c不全相等，


所以，

即．

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