求锐角三角函数值的几种常用方法

2023-03-20 05:07:20 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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求锐角三角函数值的几种常用方法

锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考的热点之一．求锐角的三角函数值方法较多，下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法，供参考．一、定义法

当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sin A的值是( ) (A)

512513

(B) (C) (D) 1313125

分析题目中已知乞A的对边BC和斜边AB的长，可直接运用锐角三角函数的定义求解．

解 ∵在△ABC中， ∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴sin A

BC5

故选A AB13

二、参数法

锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．

例2 在△ABC中，∠C=90°，如果tan A=

5

，那么sin B的值是． 12

分析由已知条件∠A的正切，可知直角三角形中两边的比值，据此可用参数法将第三边表示出来，进而求出sin B的值．解如图2 ∵tan A=

BC5

， AC12

∴设BC=5k，AC=12k(k>O)．由勾股定理，得AB=13k， ∴sinB

AC12k12

 AB13k13

三、等角代换法

当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．

- 1 -

例3 如图3，在Rt △ABC中，∠BCA=90°，CD是AB边上的中线，BC=5，CD=4，则

cos∠ACD的值为．

分析由已知条件，不难知道∠ACD与∠A相等，所以欲求cos∠ACD，只要求cosA即可．

解在Rt △ABC中， ∵CD是AB边上的中线， ∴CD=AD=BD， ∴∠ACD=∠A．

又∵CD=4，∴AB=2 CD=8，由勾股定理，得

ACAB2BC239．

∴cosA=

AC39



AB8

39

8

∴cos∠ACD=cosA= 四、构造法

直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解．

例4 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( ) (A)

5732121

(B) (C) (D) 145714

分析由于∠B不在直角三角形中，因此需添加辅助线构造直角三角形，从而求解．解如图4，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D． ∵∠BAC=120°， ∴∠DA C=180°一∠BAC =180°一120°=60°．

在Rt△ABC中，∵A C=2，∠DAC=60°， ∴CD=AC·sin∠DAC=2

3

3， 2

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