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用频率估计概率典例解析
随机事件发生的可能性的大小可以通过大量的重复实验去探索.通过频率的稳定性来揭示随机事件发生的可能性的大小，在大量的实验中，某个事件发生的频率稳定一个常数，此常数叫该随机事件发生的概率.
例1在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只, 某学习小组做摸球实验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：
(1) 请估计：当n很大时, 摸到白球的频率将会接近 ；
(2) 假设你去摸一次, 你摸到白球的概率是 ,摸到黑球的概率是 ； (3) 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
(4) 解决了上面的问题, 小明同学猛然顿悟, 过去一个悬而未决的问题有方法了. 这个问题是: 在一个不透明的口袋里装有假设干个白球, 在不允许将球倒出来数的情况下, 如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)? 请你应用统计与概率的思想和方法解决．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
分析:此题是一道根据摸球实验频率估算概率的试题,利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,利用这个值代替概率值即可解决问题.
解: (1)由表格可知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率是0.6,这时摸到黑球的概率为1-0.6=0.4.
(3)白球个数为:20×0.6=12(只),黑球个数为20×0.4=8(只)或20-12=8(只). (4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀; ②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率.由频率估计概率;③估算:
摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率
100 58
150 96
200 116
500 295
800 484
1000 601
m
n
0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
黑球个数
球的总个数.球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.
摸到黑球的概率
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方案二: ①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀; ②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到有标记球的次数,计算频率,由频率估算概率.
③估算:
有标记球的个数
白球个数.
摸到有标记球的概率
例2王强与李刚两位同学在学习“概率〞时.做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数 1 出现次数 6
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率. (2)王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大.〞 李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.〞 请判断王强和李刚说法的对错.
(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
分析:此题是一道与频率与概率有关的试题,解决问题的关键要理解概率与频率的计算方法.根据表格信息可知，抛了54次，向上的点数为3共出现了5次，向上点数为5的共出现了16次，由此可计算出相应的频率.通过列表或画数状图的方法可求到向上点数之和为3的倍数的概率.
解：(1)出现向上点数为3的频率为
2 9
3 5
4 8
5 16
6 10
58，出现向上点数为5的频率为. 542710
，但频率不一定等于概率，因为掷一次骰子，54
(2)因为掷一次骰子点数1，2，3，4，5，6出现向上具有等可能性，所以王强说法不对，虽然投掷54次出现点数6向上的频数是点数6向上的概率是
1
，所以李刚的说法也不正确的. 6
(3)通过画树状图或列表可得王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率
121 363
评注:通过试验来估算不确定事件发生的概率大小,通常是在试验次数越多,事件发生的频率值逐渐稳定时,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/fa5db5c5a68da0116c175f0e7cd184254b351bc0.html
2022-03-06
