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正棱台体公式推导(修正简化部分计算版)
(1)将正四棱台切割成九部分(如下图)
A
BEH
C
D
G
FI
(鸟瞰图) (立体切面图) E在棱台体中间位置,是一个方形体;
B、D、H、F是四个三棱柱,分别位于在方形体的四周位置; A、C、G、I 是四个四棱锥,分别位于棱台体的四个角的位置。 (2)用字母表示图形部位
顶面棱长为b,底面棱长为a,棱台体高为h。
(3)体积的计算
(1)一个方形体E,其底面是边长为b、高为h的方形体,体积为bh;
2
(图V1)
(2)四个四棱锥A、C、G、I,用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为
ab
、高为h的方形体。 2
(四棱锥) (由四个小棱锥组合成的四棱锥) 小棱锥体的体积为(长由
ab21
)h。由四小棱锥组合在一起的大棱锥体的体积就是:(ab)2 h。(边
32
ab
变为ab) 2
(ab)
、h的长方体,体积和为2
(3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别为b、b(a-b)h。
(三棱柱) (拼合图形)
(4)四棱台的体积
四棱台的体积等于上述三项(九个部分)之和
12
(ab)h+ b(a-b)h 32 12
解:V= [b +(ab)+ b(a-b)] h
3
V=bh+
2
由此得出:正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。
化简可得(通用求法也可以表示为如下公式) V
121
(aabb2)hHS1S233
S1S2
其中:S1为棱台下表面面积,S2为棱台上表面面积。
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