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例谈分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此。
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。因此增根具有两个特征：其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,它使最简公分母等于0；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它包含两种情形：其一原方程化去分母后的整式方程无解；其二原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
例1、解分式方程
1x1
2，①可知方程（ ） x22x
A．解为x2 B．解为x4 C．解为x3 D．无解 解：方程两边都乘以（x-2），得1-x+2（x-2）=-1．② 解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根． 所以原方程无解，这条题目选D。
分析：显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2。而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
例2 解方程
x13x2． x22x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分析：此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
x3m
=无解，求m的值。 x22x
x3m
解：原方程可化为=－．
x2x2
例3若方程
方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．
分析：因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，能将分式方程化为一元二次方程的分式方程同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．
例4、若关于x的分式方程
xa3
1①无解，则a ． x1x
解：方程两边都乘以x(x-1)，得(x-a)x-3(x-1)＝x(x-1) 整理得（a+2）x＝3 ② 因原方程无解，则有两种情形：
（1）当a+2＝0（即a＝-2）时，方程②为0x＝3，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝0或1，把x＝0或1代入方程②中，求出a＝1。
综上所述，a＝1或-2 ，原分式方程无解． 若将此题“无解”改为“会产生增根”，即： 当a为何值时，关于x的方程
xa3
1①会产生增根？ x1x
若原分式方程有增根，则x＝0或1是方程②的根．
把x＝0或1代入方程②中，解得，a＝1．
分析：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
总之，弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义，同时可有效地解决分式方程增根的问题。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/f849ac4bf724ccbff121dd36a32d7375a517c66e.html
2022-07-04
