单摆周期的精确公式

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单摆周期的精确公式



设单摆（以轻杆连接）初始时刻相对平衡位置角位移为0，静止释放。 任意时刻，对摆锤：

mgsinml

gsindddd



ldtddtd

即：



从=0到积分：

g

sindd l

2

故：

2g4g

(coscos0)(sin20sin2) ll22

l

g

dsin2

dg1

2sin20sin2，dtdtl222

0

2

sin2



2



0到0积分：





T1l0

42g0

l20du= ……………* 0g

sin20sin2sin20sin2u

222

d

令sin

0

2

m，sinumsint，cosudumcostdt；

u0时t0,u

0

2

时t



2

；

代入*得：

ldtldt22

………………A T44

g0cosug01m2sin2t

又由麦克劳林展开式：

(1x)

11321353

xxxLL224246k0

(定义(-1)!!=0!!=1) 

(2k1)!!k(2k1)!!k

1xx

k1(2k)!!k0(2k)!!



0.5

xk1k12






得：

(1msint)

2

2

12



(2k1)!!2k

msin2kt………………………1

k0(2k)!!





2k12k31(2k1)!!

L而 2sindt…………2

02k2k2222k0(2k)!!

2k

将以上两式代入A得：

ldtl(2k1)!!2k2kl(2k1)!!22k0

22

T44msintdt2()sin2200ggk0(2k)!!gk0(2k)!!21msint

即得展开式：

l(2k1)!!22k0

)sinT2(

gk0(2k)!!2



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