三角形角平分线[三角形角平分线]

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三角形角平分线[三角形角平分线]

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的外角平分线都在三角形外。

2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。

3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。(可用面积法证明)

4、三角形的角平分线都在三角形内。

5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,

三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,

根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），

(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比） CD=ab/(b+c),

在△ADC中，根据余弦定理， AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC

=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c), 根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),

AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c) AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,

Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c) =[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].

同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)]. tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].

6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。常记作点I。

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