正弦定理

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正弦定理



在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

证明

步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单


调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

扩展

一.三角形面积公式： 1.海伦公式: 设P=1/2(a+b+c)

S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)

解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2

2. S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R为外接圆半径] 3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条件同上）

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

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