国际数学奥林匹克竞赛试题

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第2届）

1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和．

2.? 寻找使下式成立的实数x：

3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：

tan  = 4nh/(an2 - a).

4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC． 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）．X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点．

a. 求XY中点的轨迹；

b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹．

6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上．令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积． ??? (a) 求证：V1 不等于 V2 ；

??? (b) 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般．

7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD．令AB=a，CD=c，梯形的高为 h．X点在对称轴上并使得 角BXC、AXD都是直角．试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在．

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