三角形中线的巧用

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三角形中线的巧用

边的知识：

三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边



角的知识：

三角形三个内角的和等于 180°

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。



三角形线的知识：

三角形的中线、高、角平分线都是线段。锐角三角形的三条高都在三角形的内部。

直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。

钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。



三角形全等的知识：

全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA．AAS 这四种。



三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。



如图 1，连接三角形 ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫△



ABC 的边 BC 上的中线。∴BD=CD= BC . AE⊥BC 于 E，即 AE 是△ABC 的边 BC 上的高。同时 AE 也是△ABD．△ACD 的高。



根据三角形的面积公式，三角形 ABC 的面积为 △ABD．△ACD 的面积可表示为：

，即 .




，



，

所以△ABD．△ACD 的面积相等，都等于△ABC 面积的一半。

结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 例 1 如图 2，AD．BE 是△ABC 的两条中线。AD．BE 交于 G，试比较△BGD 和△ AGE 面积的大小。

析解：因为 AD．BE 是△ABC 的两条中线，根据结论一，三角形 ADC 的面积等于三角形 ABC 的面积的一半，三角形 BCE 的面积也等于三角形 ABC 的面积的一半。所以



= ，所以 ，即 .

所以△BGD 和△AGE 的面积相等。

引申：连接 GC，则 GD 是三角形 GBC 的中线，GE 是三角形 AGC 的中线，根据上面结论一，有

，

，而

，



所以



，

，所以



结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积



等于这个三角形面积的 .

例 2 （2009 贺州）如图 3-1，正方形 ABCD 的 边长为 1，E．F 分别是 AB．BC 边上的中点，求图中阴影部分的面积。

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