2020 年高中数学椭圆知识点总结

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椭圆复习

一、椭圆的定义：

（1）椭圆第一定义:平面内与两定点F1、F2距离和等于常数

2a(大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做

椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

2c.

（2） 椭圆第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，当0e1时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. 椭圆定义的表达式：

PF1PF22a2aF1F20;

MPPF1PF22a,2aF1F20

.

二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:

x2y2

焦点在x轴:a2b21ab0；

轴:y2x2

焦点在ya2b

21ab0.

a是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴

上，且满足a2b2c2

.

2. Ax2

By2

CA、B、C均不为零，且AB

表示椭圆的条件为：

Ax2By2x2CC

1，Cy2

C1.

AB

所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆；

当

CAC

B时，椭圆的焦点在x轴上； 当CAC

B

时，椭圆的焦点在y轴上. 三、椭圆的几何性质（以x2y2

a2b

21ab0为例）

1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标x,y都适合

不等式x2y2

a21,b

21，即xa,yb说明椭圆位于直

线xa和yb所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

A1a,0、A2a,0、B10,b、B20,b.

4. 长轴、短轴：

A1A2叫椭圆的长轴，A1A22a,a是长半轴长； B1B2叫椭圆的短轴，B1B22b,b是短半轴长.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比e

c

a

，ac0,0e1

（2）RtOB2F2,

B222F2OB2OF2

2，即

a2b2c2.这是椭圆的特征三角形，并且cosOF2B2

的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c越接近于a，从而

ba2c2越小，椭圆越扁；当e接近于0时，c越接

近于0，从而b

a2c2越大，椭圆越接近圆。

2b2

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），a

.

7.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当

P、F1、F2三点不在同一直线上时，P、F1、F2构成了

一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：

PF1PF22a,F1F22c.

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