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一阶导数
导数 derivative 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。
一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率),记作f′(x0),即 f′(x0)=Δy/Δx (Δx→0)
若极限为无穷大,称之为无穷大导数
若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f′,称之为f的导函数,简称为导数。
函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率。 导数是微积分中的重要概念。
导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。 可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。 y=f(x )的导数f′就是f的一阶导数
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二阶导数
所谓二阶导数,即原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。 例如:y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。 二阶导数的几何意义 意义如下:
(1)切线斜率变化的速度
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)
这里以物理学中的瞬时加速度为例: 根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt
可如果加速度并不是恒定的 某点的加速度表达式就为: a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数) 又因为v=dx/dt 所以就有
a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数 将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数 f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数) 关于你的补充:
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。 应用:
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。 应用范围:
如果函数y=f(x)的导数(导函数)f'仍是可导函数,则可进而求出它的导数(f')',称之为f的二阶导数,记作f'',或y‘’
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