第27讲 取整问题

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第27讲 整取问题

内容概述

有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．

我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14， 显然有{x}<1．

O≤{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)．

典型问题

2．求

19811198121981200519812006

的和． ...2006200620062006

【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律: 最后一项为1981不难得到，再看

1981119812005198111981119811

+；=+ 20062006200620062006

198120051981200519812005

=+ 200620062006

所以有

198111981200519811198111981200519812005

+=1981=++ +200620062006200620062006

=

19811198120051981119812005

++ +2006200620062006

因为 

1981119812005

+的和为整数, 20062006

所以 

1981119812005

的和也为整数,但是我们知道0≤{x}+{y}<2；在此题中显然≠+

20062006

0，所以

1981119812005

=1 +

20062006

1981119812005+=1981-1=1980； 20062006

于是

这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和

19811003

=990； 2006

所以为1002×1980+990+1981=1986931．



4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10

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【分析与解】 我们注意到x不超过10，x不能小于5；

所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x}

当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足；

4； 51

当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=；

22

当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=；

71

当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=；

8

当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0．

4121

所以有x=6，7，8，9，10．

5278

当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}=

6．r满足r

19202191

=546．求[100r]的值? rr...r100100100100

19

、100

【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：

2091、…、均小于l， 100100

又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[r]=7， 则设有t个[r+

x

]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100

解得t=38．

所以有38项整数部分为7．

1938156

<8，即 r+<8．

100100

193857

r+≥8，即 r+≥8

100100

56

于是，100[r+]<8×100．

100

100r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743． 于是，[100r]=743

即：r+





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