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三垂线定理
周口市第三高级中学 王杰
教学目标
三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点
三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法
启发式教学法
依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的思路。 教学过程
P引例：
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。 证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内， ∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB，PB在平面PAB内 C
A
∴BC⊥PB 思考： B
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在内，则a⊥b （2）a∥b，m⊥b，则a⊥m （3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系？
1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 ○
P
a
AP
a
AP
a
A
OOO
定理
直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。 P
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°∴AC⊥BC
Q
∵AC是斜线PC在平面ABC的射影 ∴BC⊥PC（三垂线定理） ∴∆PBC是直角三角形；∴BC⊥平面PAC RC∵AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影
B又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理）， A
∴∆PQR是直角三角形。 小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。
A
例2. 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO
则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。 ∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD BDO于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影.
例3 . 如图，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，，BC=EC=2DB，
E
求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角。
解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱 由已知DB、EC都垂直正三角ABC，∴ DB//EC
又BC=EC=2DB∴ FB=BC=AB，∴ ∆FAC为直角三角形，且FA⊥AC D
A
而EC ⊥平面ABC ∴ AF⊥AE（三垂线定理） C于是∠EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，
又EC=AC，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 B
思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？
（ 用
sABC
cos
SADE
）
F
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。
此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等.
例4： 直角三角形ABC中，∠B= 90°，∠C= 30°，D是BC的中点，AC=2， DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？ E
解：过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC
B即E到斜线AC的距离为EF
D在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2
A
FC
本文来源：https://www.wddqxz.cn/ef1175df9a6648d7c1c708a1284ac850ac02042d.html
2023-01-24
