进位制与位值制

2022-04-13 02:30:09 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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[科目] 数学

[关键词] 十进制/二进制/初中 [文件] sxbj19.doc [标题] 进位制与位值制 [内容]

进位制与位值制

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

譬如36082，中国古代表示成|||┸O| ，这样的方法称之为位值制，即同样的符号在不同的位置上表示不同级别的数值。印度与中国的这种记数法称之为“十进位值制”记数法，这是最科学的记数法。中国古代的这种记数法，是个位用纵式，十位用横式，千位又用纵式，以此类推，这比起印度的记数法还是麻烦一点，所以印度记数法在世界通行。据传，14世纪前后欧洲人才从阿拉伯人那里学会了印度人的十进位值制记数法，还误以为是阿拉伯人发明的，称之为阿拉伯数字。当时，欧洲那些受过教育的贵族们，把这种十进位值制记数法当作一种招待客人的游戏。

选择10作为我们记数体系的基数，也许是因为我们有10个手指头。从原则上讲，我们可以选用任何一个数作基数，说来也巧，不管我们采用哪一个数作为基数，都可以实行位值制，并且十进位值制记数法，并不依赖于10这个特殊数，而能任意转换为其他基数。

我们先来考察十进位值制的8349这个数，我们可以通过以下步骤，顺序得出这个数各个数位上的数字：

余数

8349÷10=834+9 834÷10=83+4 83÷10=8+3 8÷10=0+8

把这几个余数逆序从左写到右，便得到（8349）10

我们再来选另一种基数的记数法进行同样的步骤，比如用6作为基数吧。

余数

8349÷6=1391+3 1391÷6=231+5 231÷6=38+3 38÷6=6+2 6÷6=1+0 1÷6=0+1

从而可得（102353）6 =（8349）10

十进位值制记数法另一大优点，在于数的运算可以简化成单个数字的运算。比如35×46，可以简人为35×（40+6）=35×40+35×6，其中35×40=35×4×10，而35×4=30×4+5×4，进一步有30×4×10，35×6=30×6+5×6，而30×6=3×6×10,其中10只不过是升级单位。这样，只要记住，1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字的加法表和乘法表就可以了，通常我们在孩童时代就已背得滚瓜烂熟了。当我们用比10大的数作为基数时，需要增加数字符号，因而它们之间的加法表和乘法表也要增加记忆的负担。在我们用比10小的数作为基数时，也要付出一定的代价。虽然数字符号少了，加法表和乘法表相对简单了，但是数位增多了。比如基数为3时，只剩下0、1、2三个符号，加法表、乘法表分别为：

+ 0 1 2 × 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 10 1 0 1 2 2 2 10 11 2 0 2 11

但是（8349）10=（102110020）3

我们还可以进一步把基数减上至2，这已是最小基数了。除了0、1两个符号，再不需要其他符号，只需要专心记住1+1=10即可。但是，一个数用二位进值制表示时，所需要的位数长度大约等于十进位值制表示时所需要的位数长度的3

1

倍，比如（99）10=（1100011）2 。3

不过。这种记数法在电子计算机中却具有很强的实用性，因为运算简单，而多进行几次运算，对于电子计算机是不在乎的。比如：（111001）2×（1011）2可以表示为

111001 × 1011 111001 111001 111001

1001110011

综上所述，在记数中进位制决定记数时基数的大小，而位值制决定记数时采用的符号的多少以符号的布置方式。其中还有许多奇妙的性质值得我们去探索，去研究。比如在10进位制记数法中，数2、4、5、6、8的倍数，最后一位数的数字会重复出现几个数字；而1、3、7、9的倍数，最后一位数的数字却把所有记数符号的数字都轮遍了。这种差异是什么原因引起的呢？进而，在7进位值制、12进位值制记数法中，会有这种现象吗？请读者自己来研究一番。