2014高考数学查缺补漏集中营 化归与转化的思想

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2014高考数学查缺补漏集中营:化归与转化的思想

一、知识整合

1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题)通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。

3转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

4.化归与转化应遵循的基本原则:

1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。

二、例题分析

1.某厂2001生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是()

A. m>N B. m无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{an}且公差d0每月的投资额组成一个等比数列{bn}且公比q1比较

a1b1ab12

12

S12



T12

的大小。若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式an=a1+

n-1d是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式

bn=a1qn-1是关于n的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出aibi

S12



T12

,即mN[点评]把一个

原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新

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2.如果,三棱锥PABC中,已知PABCPA=BC=lPABC的公垂线ED=h.求证三棱锥

1Vl2h

6PABC的体积

分析:如视P为顶点,△ABC为底面,则无论是SABC以及高h都不好求.如果观察图形,

换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.

解:如图,连结EBEC,由PABCPAEDEDBC=E,可得PA⊥面ECD.这样,截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面,PEAE为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以

1111

VPABC=VPECD+VAECD=3SECDAE+3SECDPE=3SECD PA=311

Vl2h

2BC·ED·PA=6

评注:辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.

25

(x3x2)3.在的展开式中x的系数为( )

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800

25

(x3x2)分析与解:本题要求展开式中x的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二

项展开式定理,因此,就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化:

25

(x3x2)思路1直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,展开式是一个关于x25

(x3x2)10次多项式, =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)

它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到,故为

1

C5

·(3x)·

4C4

·24=5×3×16x=240x,所以应选(B)

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化,可以发现只有

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5C5

(3x+2)5中会有x项,即


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1

C54(3x)·24=240x故选(B)②如利用x2+3x+2= C5(x2+2)+3x进行转化,则只 (x2+2) 4·3x1

C5中含有x一次项,即·3x·C44·24=240x;③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只4

C5·(x2+3x)·24中会有x项,即240x;④如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化,

(x23x2)5=(1x)5×(2x)5展开式中的一次项x只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5

展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到,即为

1510C5CCC555x·25+24x15=160x+80x=240x,故选(B)

评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

4.若不等式xpx4xp3对一切0p4均成立,试某某数的取值X围。解:

2

x2px4xp3(x1)px24x30

2

(x1)px4x3,则要使它对0p4均有g(p)0,只要有 g(p)

g(0)0



g(4)0x3x1点评:在有几个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,

我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。 三、总结提炼

1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。

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