概率问题的解题思路

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高考数学中有关概率问题的解题思路



概率是高中新教材的新增内容，在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。下面就高考中与概率有关的问题的解题思路作一归纳，供大家参考。 一．离散型随机变量的概率分布和数学期望 例1：（2003年理科高考题）A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员。A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率

21A1对B1



32525

355

A2对 B2 A3对 B3







3

3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分。设A队，B队最后所得

总分分别为ξ，η。

（Ⅰ）求ξ，η的概率分布；（Ⅱ）求Eξ，Eη。

分析：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0。P（ξ=3）=×P（ξ=2）==××+×

3

5

5

31

2

3

3

1

2325

2

253

28

×

25

=

875



×

3

25

×

1

35

+

3

13

×

25

2525

×

25

+

23

×

35

×

25

=

75

P（ξ=1）

×+××

5

3

5

3

3

=

P（ξ=0）=××=

3

5

5

3258752

;据题意知ξ+η=3，所以 ，P（η=1）= P（ξ=2）=

2875325

P（η=0）= P（ξ=3）=P（η=2）= P（ξ=1）=（Ⅱ）Eξ=3×Eξ=

2315

875



+2×

528

，P（η=3）= P（ξ=0）=+1×

25

。

75

+0×

325

=

2215

；因为ξ+η=3，所以Eη=3－

。

思路：此类问题只需正确求出随机变量在某一范围内取值时所对应的概率，并能运用公式Eξ= x1p1x2p2xnpn计算即可。

二．等可能事件的概率 例2：（2000年理科高考题）甲，乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同

的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲，乙二人依次各抽一题。

（Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？


分析：（Ⅰ）

C6C4CC

1

10

1119

=

415



C4C3

11

11

（Ⅱ）甲，乙二人依次都抽到判断题的概率为

C4C3

11

11

C10C9C6C4

11

11

故甲，乙二人中至少有一人

C4C6

11

11

抽到选择题的概率为1－

C10C9

=

1315

或

C6C5

1

111

C10C9

＋

C10C9

＋

C10C9

=

1315

.

mn

思路：1。此类问题关键在于正确求出n,m进而运用公式P（A）=。在求

n,m时注意利用排列，组合等知识。

2．“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路。逆向思考可使一些较为复杂的问题得到简化。

三．互斥事件有一个发生或相互独立事件同时发生的概率 例3：（2003年文科高考题）有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95.各抽取一件进行检验。

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001）

分析：设抽到合格产品的事件分别为A，B，C，则 P（A）=0.90 P(B)=P(C)=0.95 P(A)=0.10 P(B)=P(C)=0.05 （Ⅰ）因为A，B，C相互独立，故恰有一件不合格的概率为:

P(A·B·C)+_P(A·B·C)+P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)·P(C)

=0.90×0.95×0.05+0.90×0.05×0.95+0.10×0.95×o.95=0.176 （Ⅱ）至少有两件不合格的概率为:

P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=0.90×0.05×0.05+0.10×0.95×0.05+0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012 思路:1.正确分清互斥事件与相互独立事件是解决此类问题的关键.

2.只有当事件A,B互斥时,才能运用公式P(A+B)=P(A)+P(B);只有当事件A,B相互独立时,才能运用公式P(A·B)=P(A)·P(B). 四.独立重复试验的概率

例4:(2002年理科高考题)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立). （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率;（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3 ? 分析: （Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即

1152240.5(10.5)C60.5(10.5)1－C60(0.5)0(10.5)6C6

2132




（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为:C640.56C650.56C660.56.至少5人同时上网的概率为:C650.56C660.56

764

0.3

1132

0.3

因此, 至少5人同时上网的概率小于0.3.

思路:如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率为Pn(K)CnkPk(1P)nk.

五.等概率抽样

例5:(2000年文科高考题)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体.假定其中每个个体被抽到的概率相等.那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________.分析:

25500

0.05



例6:(2003年理科高考题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取__________,__________,__________辆.

分析:

1200

120060002000

2000

120060002000

466

,

6000

120060002000

4630,

4610

.

nN

思路:1.用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时,每个个体被抽到的概率都等于

.

2.在分层抽样中,每一层进行抽样时,都采用简单随机抽样或系统抽样,因此,也是等概率抽样.

__________完_________-

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