五年级奥数难题集锦

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小学五年级奥数经典难题



1，平均数问题：（高等难度） 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣。问：三个班总共分了多少个枣？



平均数问题答案：设丙班有x个小孩，那么乙班就有（x+4）个小孩，甲班有（x+8）个小孩。乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x个小孩就少分5x个枣，而乙班比丙班总共多分5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x+5）个枣。

同理：甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么（x+4）个小孩就少分（3x+12）个枣。而甲班比乙班共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了 （3x+12+3）即（3x+15）个枣。

甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3×4=12个枣，因此我们得到： 5x+5=3x+15+12, 解得 x=11.

所以，丙班有11个小孩，乙班有15个小孩，甲班有19个小孩，甲班每人分12个枣，乙班每人分15个枣，丙班每人分20个枣。一共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。【小结】通过方程解决问题是常用的方法。

2，最值问题：（高等难度）N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是（）。



最值问题答案：N不能含有0，因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。

3，圆柱体：（高等难度）

如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装（）毫升水（π取3.14）

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解答：942, 现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱

的体积为： 毫升水。



4，约数倍数：（高等难度） 若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为（），最小公倍数的最小值为（），最小公倍数的最大值为（）

解答：165、660、57065085

1) 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.

2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。

3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。

5. 定义新运算：（高等难度）规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有（ ）个。

定义新运算答案：共5种；

分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。

1) 当A＜3，B＜3，则（5+B） ×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.

所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；

6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们的乘积有

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27与36两种；

7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；

8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；

9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。 所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种。

6. 行程：（高等难度）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

行程答案：

① 乙丙相遇时间：（60＋75）×2÷（67.5-60）=36（分钟）。 ②东西两镇之间相距多少米？（67.5＋75）×36=5130（米）

7.钢筋截法：（高等难度）把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？



钢筋截法答案：设截成17米长的钢筋x根，截成24米长的钢筋y根。则有17x+24y=239，可得非负整数解为x＝7，y=5。

8.平方差：（高等难度）有这样一类数，它们可以写作两个自然数的平方差，如 3=22-12，被称作智慧树，那么从1开始，第1993个智慧数是多少？



平方差答案： 对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2 ，但1不符合要求，舍去 2，对于所有能被4整除的数， 4k=(k+1)2-(k-1)2，但4不符合要求，舍去 3，对于被4除余2的数，假设4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y)，当 奇偶性相同时，(x-y)(x+y)可被4整除，与提设矛盾，舍去；当xy 奇偶性不同时，(x-y)(x+y) 为奇数，与提设矛盾，舍去. 显然，从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4中只有3只智慧数，第1993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=2660。

9.扑克牌：（高等难度）一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？



扑克牌答案： 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

10. 行程：（高等难度）甲,乙两站相距300千米,每30千米设一路标,早上8点开始,每5分钟从甲站发一辆客车开往乙站,车速为60千米每小时,早上9点30分从乙站开出一辆小汽车往甲站,车速每小时100千米,已知小汽车第一次在某两相邻路标之间(不包括路标处)遇见迎面开来的10辆客车,问:从出发到现在为止,小汽车遇见了多少辆客车?



行程答案：小汽车出发遇到第一辆客车是在（300－60×1.5）÷（100＋60）＝21/16小时，小汽车每行一段需要30÷100＝3/10小时，此时在(21/16)÷(3/10)＝4又3/8段的地方相遇。遇到第一辆客车后，每隔5÷（100＋60）＝5/160小时遇到一辆客车，当在端点遇到客车时，每断路只能再遇到9辆车[（3/10）÷(5/160)＝9.6]，因此过路标少于3/10－9×(5/160)＝3/160

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小时遇到客车时，才能满足条件。当小汽车行完5段，就刚好在路标处遇到第7辆，因此这段只能遇到9辆，下一次刚好能遇到10辆，所以共遇到了7＋9＋10＝26辆。

11. 答题：（高等难度）100个人回答五道题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。



答题答案：答对三道题或三道题以上的人算及格，要使100人中，及格人数尽可能少 则需使每人首先都答对其中的两题，余下 （81+91+85+79+74）-2×100=410-200=210道 尽量分配给少数人，这少数人中每人最多再对3道 所以210÷（5-2）=70（人） 即在这100人中，至少有70人及格。

12. 最大值：（高等难度）把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？

最大值答案：要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。由例[1]的原则，可知被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个"□"中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽可能小。因为：12×34=408而14×23=322，13×24=312（最小）8765－13×24=8453。

13.数字:（高等难度）2008年第29届奥运会将在北京举办．则 20082008的个位数字是多少？



数字答案：算式中每个乘数的个位数字都是 ，8×8×8×L 的个位数字周期性出现：8、4、2、6、8、4、2、6……，周期为4， 2008÷4=502，所以 的个位数字是6．

14.. 自然数：（高等难度） 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？

自然数答案： 如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。

15.约数：（高等难度）100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？



如果恰有一个质因数，那么约数最多的是26=64，有7个约数；

如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是23×32＝72和25×3＝96，各有12个约数； 如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是22×3×5＝60，22×3×7＝84和2×32×5=90，各有12个约数。

所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96。

16.座位：（高等难度）一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来

后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？



座位答案：将15个座位顺次编为1:15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号

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位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。

17. 停车：（高等难度）停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?

停车答案： 把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排

18. 数字问题：（高等难度）任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。请证明，在从各个不同位置上截取的所有三位数中，一定有两个相等。



数字答案：由1,2,3组成一个3位数，共有 个不同三位数。从一个30位数中截取3位数，共有 种不同截取方法。那么，从不同位置截取的28个三位数中，必有其中2个是相同的三位数。

19. 分苹果问题：（高等难度）把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

分苹果答案：先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有 种分法．

20. 数字推理问题：（高等难度）用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数组成的2个四位数，使这两个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？

数字推理答案：若要让差最小，那么，让两数的千位只差1.；大数除去千位后的三位数要尽量小，小数除去千位后的三位数要尽量大。

1、2、3、4、6、7、8、9这8个数，能组成的最大三位数为987，最小三位数为123。但这样的话，剩下的4、6差为2，显然不能得到最小差。那么令千位为3、4，这样，剩余的数字组成的最大数为987，最小数为126。最小差为： 4126-3987=139。

21. 牛吃草问题：（高等难度）一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃?



牛吃草答案： 把"36只羊"看做"12只牛"，那么，设1头牛1天的吃草量为"1"。草地每天生长的草量为 。原有草量 。16天后草量 ，如吃16天，需要 头牛。现已有17头牛，还需16头牛。也就是还需48只羊。

22. 串数问题：（高等难度）有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25，已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7，问：这串数中第2008个数是几？

串数答案： 因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同．进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同．同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同，也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的．所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7，前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-(3+6+7)=9．这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现，第2008数（（2008÷4=502））与第4数相同，是9 23.台阶问题：（高等难度）小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，

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如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？



台阶答案： 掷骰子点数有1-6这6种情况，其中小于3的有2个，不小于3的有4个。所以，小明每跨出一步，有 的概率跨1个台阶，有 的概率跨 2个台阶，对于 4步跨 6个台阶的每一种情况，必定是有2步跨1个台阶，2步跨2个台阶，这4步的走法共有

种； 对于里面的每一种走法，例如(2,2,1,1) ，发生的可能性有

，所以 4步跨6 台阶发生的总概率为 ．

24. 自然数问题：（高等难度）计算：对自然数a 和n，规定 如

自然数答案：

，例



，那么：



25. 牛吃草问题：（高等难度）牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10

头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 牛牛吃草答案：

【分析】设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20-10＝10（天），

说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l0-5）× 20＝100（份）或（15-5）×10＝100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。



26. 填括号问题：（高等难度）在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等

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式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。

填括号答案：

【分析】等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。5+（7×8+12）÷4-2=20。

27. 倍数问题：（高等难度）六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。



倍数答案：391344

28. 计算问题：（高等难度）在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。



计算答案：621819÷（100-1）= 6281

29. 整除问题：（高等难度）在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。



整除答案：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由 443000÷573=773……71

推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。

30. 整数问题：（高等难度）将2009加一个整数，使和能被17与19整除，加的整除要尽可能小，那么所加的整数是多少？

整数答案： 17和19互质，所以【17,19】=323。2009÷323=6……71.也就是说我们最小要加上323-71=252，才能使它们的和能被17与19整除。【小结】补余的思想。

31. 自然数问题：（高等难度 求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的各位、十位、百位三个数码都相同。

自然数答案：设前n个自然数的和等于111a,其中a是自然数1~9中的一个， 则有n(n+1)÷2=3×37×a,当a=6时，上式化为n(n+1)=36×37,所以自然数n=36。 【小结】考察等差数列求和以及数论知识。

32. 行程问题：（高等难度）A城每隔30分钟有直达班车开往B镇，速度为每小时60千米；小王骑车从A城去B镇，速度为每小时20千米。当小王出发30分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他；当小王到达B镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。A、B间路程为多少千米？

行程答案：由于班车速度是小王速度的3倍，所以当第一趟班车追上并超过小王的那一刻，由于小王已出发30分钟，所以第一趟班车已出发30÷3=10分钟；再过50分钟，第三趟班车出发，此时小王已走了30+50=80分钟，从此刻开始第三趟班车与小王同向而行，这是一个追及问题。由于班车速度是小王速度的3倍，所以第三趟班车走完全程的时间内小王走了

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全程的三分之一，所以小王80分钟走了全程的三分之二，AB间路程为：20×80/60÷2/3=40

千米。【小结】典型的行程问题中追及问题。

33.长方体相加：（高等难度）一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积

是2010立方厘米，那么它的长、宽、高和的最小可能值是多少厘米？

长方体答案： 三个数相乘，当积一定时，三个数最为接近的时候和最小。

所以这3 个数为6，9，37。6+9+37=52。所以这个长方体的长、宽、高的和最小为52。 整数问题通常都和分解质因数相结合。

34. 班级逻辑问题：(高等难度) 四年级有三个班，每班有两个班长，开班会

时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A,B,C；第二次到会的有B,D,E；第三次到会的有A,E,F。请问哪两位班长是同班的？

用数字"1"表示到会，用数字"0"表示没到会，可列下表



从第一次到会的情况看，A只能和D,E,F同班 从第二次到会的情况看，A只能和D,E同班 从第三次到会的情况看，A只能和D同班

利用上述表格，仿照上述方法，推出与B,C分别同班的同学。

班级逻辑问题答案：【分析】从第1次到会的情况来看，B只能与D、E、F同班； 从第2次到会的情况来看，B只能与A、C、F同班； 从第3次到会的情况来看，B只能与A、E、F同班。 所以B只能与F同班。 同理C只能与E同班。



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