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第5课时等差数列的概念和通项公式 [学习导航]
知识网络
学习要求
1. 体会等差数列与一次函数的关系;
2.初步通过数列的下标研究数列。 [自学评价]
1.{an}是等差数列
aan1an1
n
2
(n1) 2.{an}是等差数列,假设mnpq,那么amanapaq
[精典范例]
[例1]等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,求首项a1和公差d,并画出图像。 [解] [答
案]a11,d2 等差数列的通项公式an=2n-1是关于n的一次式,从图象上看,表示这个数列的各点〔n,an〕均在直线y=2x-1上。
[例2]〔1〕在等差数列{an}中,是否有
aan1an1
n
2
〔n≥2〕? 〔2〕在数列{an}中,如果对于任意的正整数n〔n≥2〕,都有aan1an1
n
2
,那么数列{an}一定是等差数列吗? [解]
[例3]如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列,且AD=21cm,这三个正方形的面积之和是179cm2
.
.专业.
〔1〕求AB,BC,CD的长;
听课随笔
〔2〕以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第10项为边长的正方形的面积是多少?
[解] 〔1〕设公差为d〔d>0〕,BC=x,那么AB=x-d,CD=x+d.由题意得 (xd)x(xd)21
d)x(xd)179
(x222
解得x7x7d4或d4〔舍去〕
AB=3〔cm〕,BC=7〔cm〕,CD=11〔cm〕
〔2〕正方形的边长组成首项是3,公差是4的等差数列{an},所以
a10=3+〔10-1〕×4=39. a22210=39=1521〔cm〕.
所求正方形的面积为1521cm2
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[追踪训练一]:
1.等差数列的通项公式为an1
1
2
n,求它的首项和公差,并画出它的图象.
[答案]略
2. a1,a2,a3,…,an,an+1,…,a2n是公差为d的等差数列.
〔1〕an,an-1,…,a2,a1也成等差数列吗?如果是,公差是多少?
〔2〕a2,a4,a6,…,a2n也成等差数列吗?如果是,公差是多少?
[答案]〔1〕d 〔2〕2d
3.等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
〔1〕将数列{an}中的每一项都乘以常数a,所得的新数列仍是等差数列吗?如果是,公差是多少?
〔2〕由数列{an}中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列{cn}是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?
[答案]〔1〕是等差数列,公差是ad
.
〔2〕是等差数列,首项是a1,公差是2d
4.一个直角三角形三边的长组成等差数列,求这个直角三角形三边长的比. x-3x-5=0的两根,那么a5+a8= 3 . 2. 假设关于x的方程xxa0和
2
2
听课随笔
x2xb0(ab)的四个根组成首项为1
的等差数列,那么ab 〔 D 〕
[答案]三边长的比为3:4:5
5.某货运公司的一种计费标准是:1km以内收费5元,以后每1km收2.5元.如果运输某批物资80km,那么需支付多少元运费?
[答案]需支付运费202.5元
[选修延伸]
[例4]在等差数列{an}中,ap=q,aq=p〔p≠q〕,求ap+q [解]
[答案]ap+q=0
[例5]如图〔1〕是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点,将原三角形剖分成4个三角形〔如图〔2〕〕,再分别连结图〔2〕中间的小三角形三边的中点,又可将原三角形剖分成7个三角形〔如图〔3〕〕.依此类推,第n个图中原三角形被剖分为an个三角形.
〔1〕求数列{an}的通项公式; 〔2〕第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形?
[解]
[答案]〔1〕an3n2 〔2〕298个三角形 [追踪训练二]:
1. 假设{an}是等差数列,a3,a10是方程
.专业.
4A. 38 B. 1124 C. 1324 D.
3172
3. 假设三个数a-4,a+2,26-2a,适当排列后构成递增等差数列,求a的值和相应的数列. [解]
a=6,相应的数列为:2,8,14 a=9,相应的数列为:5,8,11 a=12,相应的数列为:2,8,14
4. a13,an1
3n1
3n2
an (n1),求an
[解]
a1n
3(n1)3(n1)2•3(n2)13(n2)2••321322•31
32
a1
3n45263n13n73n4
8533n1
[师生互动]
学生质疑
教师释疑
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