第5课等差数列的概念和通项公式

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第5课时等差数列的概念和通项公式 [学习导航]

知识网络



学习要求

1． 体会等差数列与一次函数的关系；

2．初步通过数列的下标研究数列。 [自学评价]

1．{an}是等差数列

aan1an1

n

2

(n1) 2．{an}是等差数列，假设mnpq，那么amanapaq

[精典范例]

[例1]等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。 [解] [答

案]a11,d2 等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点〔ｎ，ａｎ〕均在直线ｙ＝２ｘ－１上。

[例2]〔１〕在等差数列｛ａｎ｝中，是否有

aan1an1

n

2

〔ｎ≥２〕？ 〔２〕在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ〔ｎ≥２〕，都有aan1an1

n

2

，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ [解]

[例3]如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２

．

.专业.

〔１〕求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；

听课随笔

〔２〕以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？

[解] 〔１〕设公差为ｄ〔ｄ＞０〕，ＢＣ＝x，那么ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得 (xd)x(xd)21

d)x(xd)179

(x222

解得x7x7d4或d4〔舍去〕

ＡＢ＝３〔ｃｍ〕，ＢＣ＝７〔ｃｍ〕，ＣＤ＝１１〔ｃｍ〕

〔２〕正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以

ａ１０＝３＋〔１０－１〕×４＝３９． ａ２２２１０＝３９＝１５２１〔ｃｍ〕．

所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２

．

[追踪训练一]：

1．等差数列的通项公式为an1

1

2

n，求它的首项和公差，并画出它的图象．

[答案]略

2. ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．

〔１〕ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

〔２〕ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

[答案]〔1〕d 〔2〕2d

３．等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．

〔１〕将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？

〔２〕由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

[答案]〔1〕是等差数列，公差是ad


.

〔2〕是等差数列，首项是a1，公差是2d

４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比． x-3x-5=0的两根，那么a5+a8= 3 . 2. 假设关于x的方程xxa0和

2

2

听课随笔

x2xb0(ab)的四个根组成首项为1

的等差数列，那么ab 〔 D 〕

[答案]三边长的比为3:4:5

５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？

[答案]需支付运费202.5元

[选修延伸]

[例4]在等差数列｛ａｎ｝中，ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ〔ｐ≠ｑ〕，求ａｐ＋ｑ [解]



[答案]ａｐ＋ｑ=0

[例5]如图〔１〕是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形〔如图〔２〕〕，再分别连结图〔２〕中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形〔如图〔３〕〕．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．

〔１〕求数列｛ａｎ｝的通项公式； 〔２〕第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？



[解]



[答案]〔1〕an3n2 〔2〕298个三角形 [追踪训练二]：

1. 假设｛an｝是等差数列，a3,a10是方程

.专业.

4A. 38 B. 1124 C. 1324 D.

3172

3. 假设三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列. [解]

a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11 a=12，相应的数列为：2，8，14

4. a13，an1

3n1

3n2

an (n1)，求an

[解]

a1n

3(n1)3(n1)2•3(n2)13(n2)2••321322•31

32

a1



3n45263n13n73n4

8533n1



[师生互动]

学生质疑

教师释疑

本文来源：https://www.wddqxz.cn/eb6d41c5cdc789eb172ded630b1c59eef9c79a0c.html