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赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法
山东 张吉林〔山东省莱州五中 261423〕
等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式:
aanqa1(1qn)
当q1时,Sn ① 或Sn1 ②
1q1q
当q=1时,Snna1
本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想,而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位
相减法,更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。
一般地,设等比数列a1,a2,a3,
an
它的前n项和是
Sna1a2a3an
公式的推导方法一:
Sna1a2a3an
当q1时,由 n1
ana1q
2n2n1
Sna1a1qa1qa1qa1q得
23n1n
qSna1qa1qa1qa1qa1q
(1q)Sna1a1qn
aanqa1(1qn)∴当q1时,Sn ① 或Sn1 ②
1q1q
当q=1时,Snna1
当已知a1, q, n 时常用公式①;当已知a1, q, an时,常用公式②.
拓展延伸:假设an是等差数列,bn是等比数列,对形如anbn的数列,可以用错位相减法求和。
2
例题 数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)2
22n22n1,则
Sn的表达式为〔 〕.
n1n
A.Sn22n2 n
C.Sn2n2
n1
B.Sn2n2 n1
D.Sn2n2
2
解析:由Snn(n1)2(n2)2
22n22n1,①
23
可得2Sn2n(n1)2(n2)2
22n12n,②
②-①,得Sn22
2
2
n1
2(12n)
2nn2n1n2,故选〔D〕.
12
n
点评:这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法,是高考中命题率很高的地方,应予以高度的重视。 公式的推导方法二:
当q1时,由等比数列的定义得,
aa2a3
nq a1a2an1
根据等比的性质,有
a2a3anSa1
nq
a1a2an1Snan
即
Sna1
q(1q)Sna1anq
Snan
aanqa1(1qn)
∴当q1时,Sn 或Sn1
1q1q
当q=1时,Snna1
该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比的性质,导出了公式,给我们以耳目一新的另类感觉。
导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活地运用好定义,往往能得到一些很有价值的
结论和规律。例如等比数列的一个常用性质:
已知数列an是等比数列〔q1〕,Sn是其前n项的和,则Sk,S2kSk,S3kS2k,…,仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程:
证明一:〔1〕当q=1时,结论显然成立;
〔2〕当q≠1时, Sk
a11qk1qa11qk1q
,S2k
a11q2k1q
,S3k
a11q3k1q
S2kSk
a11q2k1q
a1qk1qk1q
S3kS2k
a11q3k1q
2
a11q2k1q
2
a1q2k1qk1q
S2kSk
a12q2k1qk(1q)2a11qka1q2k1qk
Sk(S3kS2k)
1q1q
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