如何读懂二次函数图像

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如何读懂二次函数图像

数形结合是学好函数的重要思想方法。

读懂二次函数yax2bxca、b、c为常数，且关键在于掌握二次a0的图像，函数的图像特征与二次函数系数（a、b、c、b4ac）之间的关系。具体对应关系如下表：

2



字母系数

a

b

c

形（图像）

抛物线开口方向向上，左减右增有最低点，有最小值

抛物线开口方向向下，左增右减，有最高点，有最大值 对称轴是y轴

对称轴位于y轴左侧 对称轴位于y轴右侧

抛物线与y轴交点位于原点上方 抛物线与y轴交点位于原点下方 抛物线与y轴交点是原点（过原点） 抛物线与x轴有2个交点，方程

ax2bxc0有两个不相等的实数

数（abc) a>0 a<0 b=0

a、b同号 a、b异号 c>0 c<0 c=0 b2-4ac>0

b2-4ac

根

抛物线与x轴有1个交点，方程

axbxc0有两个相等的实数根

2

b2-4ac=0

抛物线与x轴有0个交点，方程

axbxc0没有实数根

2

b2-4ac<0



下面我们通过具体问题来学会看图.

例1.已知二次函数yaxbxca0的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）

2

A.a>0

B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.c<0

D.3是方程axbxc0的一个根

看图分析：

A.抛物线开口方向向下，说明a<0.所以错误；

B.对称轴是直线x=1，x>1表示对称轴的右侧，左增右减，即y随x的增大而减小，所以错误；

C.抛物线与y轴的交点位于原点上方，说明c>0.所以错误 D.A、B、C错误，运用排除法知道D正确.

2


看图方法是：抛物线与x轴有2个交点，左交点坐标是（-1,0），对称轴是直线x=1，根据轴对称性质知道，右交点坐标是（3，0）.因为（3,0）在抛物线axbxc0的图像上，说明交点坐标满足函数表达式axbxc0，即x=3，y=0.就是说3是方程

2

2

ax2bxc0的一个根.所以正确.

例2.平面直角坐标系中，二次函数yax2bxca0的图像如图所示，现给出下列结论：①abc<0；②c+2a>0；③9a-3b+c=0；④a-b≤am+bm；⑤4ac-b<0.其中正确的结论个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5



看图分析： ①abc<0；

抛物线开口方向向上说明a>0

对称轴位于y轴左侧，ab同号，说明b>0.也可以运用公式法：对称轴为直线x得到b=2a>0.

抛物线与y轴交点位于原点下方，说明c<0. 由a>0、b>0、c<0得到abc<0，正确！ ②c+2a>0；

见到关于a、b、c的等式或不等式，一般联系抛物线上的一个点的纵坐标. 因为c+2a>0中没有b，只有a、c，从对称轴为直线x

2

2

b

-1，2a

b

-1，得到b=2a.代入2a

yax2bxca0得yax22ac.这样可以消去b.

当y=c+2a时，即ax2axcc2a，整理得x2x2，解得x13 可以判断x的2个值约等于-2.732余0.732，介于-3与1之间，观察图像知道，当横坐标

2

2

x13时，找到抛物线上的两个点都位于x轴下方，即纵坐标y=c+2a<0.所以错误.



③9a-3b+c=0；

见到关于a、b、c的等式或不等式，一般联系抛物线上的一个点的纵坐标.

对比yaxbxca0，可以发现：当x=-3时，y=9a-3b+c.而（-3,0）是抛物线与x

2

轴的右交点，所以9a-3b+c=0正确！

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