三角形中的常见结论

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三角形中的常见结论



以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！ ．．．．．．．．．．．．．

在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 1、内角和定理：ABC.

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，

即：abAB，abAB，abAB.

3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，

即：abc，acb，bca abc，acb，bca 4、三角形的四心：

外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点. 内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点. 垂心：三边高线的交点. 重心：三边中线的交点.

B

A

cb

a

C



（2）GAGBGC0；

重心G的性质：（1）重心G是中线的三等分点；

（3）若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则G

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一. 等边三角形四心合一.

x1x2x3y1y2y3

,.33

1


abc

2R（R为ABC外接圆的半径）. sinAsinBsinC

abbcac

正弦定理的变形：（1），，； sinAsinBsinBsinCsinAsinC

bsinAasinB

（2）asinBbsinA，a，sinA；

sinBb

5、正弦定理：

（3）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC； （4）sinA

abc

，sinB，sinC； 2R2R2R

（5）a:b:csinA:sinB:sinC； （6）

abca

2R.

sinAsinBsinCsinA

正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意

如何取舍角，利用内角和定理、边角关系进行取舍！）

（3）判断三角形的形状.（边化角或角化边）

6、余弦定理：abc2bccosA，bac2accosB，cab2abcosC

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

或cosA，cosB，cosC.

2ab2bc2ac

余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；

（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角； （3）判断三角形的形状.

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

cosC0C为锐角c2a2b2 cosC0C为直角c2a2b2 cosC0C为钝角c2a2b2

7、三角形内的诱导公式：

sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC sin

ABCABCABC

cos，cossin， tancot 222222

8、对任意三角形ABC，都有sinA0. 9、sinAsinBABab， sinAsinBABab， sinAsinBABab.



2


10、若sin2Asin2B，则AB或AB11、sin(AB)0AB.



2

.

12、在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是

cosAcosB0.（也可以用9中的结论来判断）

13、在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC. 14、在ABC中，A、B、C成等差数列B60.

15、ABC为正三角形A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 16、正余弦定理综合：sinAsinBsinC2sinBsinCcosA sinBsinAsinC2sinAsinCcosB sinCsinAsinB2sinAsinBcosC 17、射影定理：abcosCccosB

bacosCccosA cacosBbcosA

B C D ABBD

18、角平分线定理：AD为ABC的角平分线，则 ACCD

111

19、ABC的面积公式：（1）Sahabhbchc（ha，hb，hc分别为a,b,c边上的高）

222111

（2）SabsinCbcsinAacsinB

222

（3）S2RsinAsinBsinC（R为ABC外接圆的半径） （4）S（5）S

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



A

abc

4R

p(pa)(pb)(pc)（其中p

abc

） 2

（6）Srp

20、直角三角形中的结论： （1）两锐角互余，即AB90.



1

r(abc)（r为ABC内切圆的半径） 2

（2）30角所对的直角边等于斜边的一半.

（3）勾股定理：abc.

（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点. （5）如图可得： RtABC∽RtACD∽RtCBD.

C

（6）由（2）可得直角三角形中的射影定理：

2

2

2



AC2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.



A

D

B

3

本文来源：https://www.wddqxz.cn/eb1a1ef0ae51f01dc281e53a580216fc700a53f4.html