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一类蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究
一、请阅读下列材料:
问题:如图(1),一圆柱的底面半径、高均为5cm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:
路线1:侧面展开图中的线段AC.如下图(2)所示:
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设路线1的长度为l1,则l1=AC=AB+=5+(5π)=25+25π路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
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设路线2的长度为l2,则l2=(AB+BC)=(5+10)=225
l1-l2=25+25π-225=25π-200=25(π-8)>0
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∴l1>l2,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1) 小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线
进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
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(2) 路线1:l1=AC=_____;
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(3) 路线2:l2=(AB+BC)=_____
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(4) ∵l1_____l2,
(5) ∴l1_____l2(填>或<)
(6) ∴选择路线_____(填1或2)较短.
(7) (2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才
能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
二、如图所示,一圆柱高AB为5cm,BC是底面直径,设底面半径长度为acm,求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线.
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方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种方案:
图1是方案一的示意图,该方案中的移动路线的长度为l1,则l1=5+2a(cm);
图2是方案二的示意图,设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度,则l2=________cm(保留π). 计算探究
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① 当a=3时,比较大小:l1________ l2(填“>”“=”或“<”); ② ②当a=4时,比较大小:l1________ l2(填“>”“=”或“<”); ③ 延伸拓展:
④ 在一般情况下,设圆柱的底面半径为rcm.高为hcm.
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⑤ ①若l1=l2,求h与r之间的关系;
⑥ ②假定r取定值,那么h取何值时,l1<l2? ⑦ ③假定r取定值,那么h取何值时,l1>l2?
三、1.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离 .
2.如图,已知圆柱体底面圆的半径为
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,高为1,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线,若一只小虫从
A点出发,(沿圆柱表面)爬行到点C,则小虫爬行的最短的路线的长度是 (结果精确到0.01).
3.如图,已知圆柱体底面圆的半径为
2
,高为2,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线,若一只小虫从
A点出发,从圆柱侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短的路线的长度是 (结果保留根式).
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