抛物线的对称性

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抛物线的对称性

萧县 纵强

二次函数的图像是具有对称性的抛物线，合理的利用这一特征所带来的性质对于解决二次函数的这一类问题会取得很好的效果，在今年的中考中也常出现这类问题，为帮助同学们学好这部分内容，本文对这部分内容剖析如下。

二次函数yaxhk(a0)的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线xh。根据轴对称的性质，我们容易得出以下几个结论。

结论1：、对于抛物线上两个不同点A（x1，y1）、B（x2，y2）

A、B两点是关于对称轴xh对称点纵坐标满足y1y（纵坐标相等） 2A、B两点是关于对称轴xh对称点横坐标满足x1hx2h（对称的点到对称轴的距离相等）

yA

B

2

Ox1x2

x



由结论1中x1hx2h变化可得hx1x2hh

x1x2

即结论2 2

结论2：：A、B是抛物线上关于对称轴xh对称点则可得： 抛物线的对称轴为直线x

x1x2

2

由以上两个结论知，已知一点的坐标A（x1，m）和对称轴直线xh就可以确定A点的对称点B的坐标：由结论1对称点的纵坐标相等得：B的纵坐

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标也是m

由结论2得：h

x1x2

即B的横坐标是x22hx1 2

即：结论3：A（x1，m）是抛物线上的一点，则它关于对称轴直线xh的对称点B一定也在抛物线上，且B点的坐标为（2hx1,m）

一、利用对称性求抛物线的解析式

例1. 二次函数的图像经过A（-3，1）、B（1，1）、C（-1，3）三点，求二次函数的解析式。

分析：由结论1可知点A（-3，1）、B（1，1）是抛物线上对称的两点。再根据结论2，可知直线x3）恰为抛物线的顶点。

解：设二次函数的解析式为ya(x1)23（顶点式）， 由图像经过B（1，1）所以1a(11)23，a。 从而可确定二次函数的解析式为y(x1)23。 二、利用对称性求函数值

例2.已知二次函数yax2bxc(a0)中自变量x和函数值y的部分对应值

如下表：

x

31

所以点C（-1，1是此抛物线的对称轴，

2

12

12

3… 

2

1 2

1 29 4

0

2

1 25 4

1 0

3 27 4

… …

y

… 

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则该二次函数图像的对称轴为x= ; x=2对应的函数值y ；

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