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单位根群
2008年06月20日 星期五 11:32 n次单位根对乘法满足 1.封闭性 2.结合律 3.有单位元
4.任何n次单位根有逆元
则全体n次单位根对复数中乘法构成一个群,称n次单位根群 同时这个群中元素满足5.交换律,从而n次单位根群是个交换群 又注意到n次单位根群中存在n次原根,从而n次单位根群是循环群 性质:设εk是一个n次单位根(k∈Z),则εk是n次单位原根等价于 (k,n)=1,即k与n互素 证明:
若(k,n)=1,则下列n个数
k,2k,…,nk
被n除后必定互不相同。这是因为如果后h,l使得1≤h且hk与lk被n除后余数相同,则lk-hk是n的倍数,但 lk-hk=(l-h)k
中k与n互素,0,当然不能被n整除,从而(l-h)k不可能是n的倍数,与原假设矛盾。据性质二的推论,
εk,ε2k,ε3k,。。。,εnk
互不相同,即恰恰构成了全部n次单位根,但这n个数有可以写成 εk,εk2,εk3,。。。,εkn 所以这时εk确为n次单位原根 若(k,n)≠1,则εk的各次方幂
εk,εk2,εk3,。。。,εkn
中不可能互不相同,从而εk不是n次单位原根。这是因为k,n不互素即它们的最大公约数d>1,于是可设 n=md,k=ld 则εkm=εldm=(εld)n=εlmd=εln=1 即至少有εkm和εkn相等都为1
推论:当p是素数时,任何一个不等于1的p次单位根εk都是p次原根 εk≠1相当于k不是p的倍数,而当p是素数时,任何k若不是p的倍数就一定与p互素
正因数
正因数指的是一个数的正数因数,因数可以是任何数,而正因数必须是正整数。如:12的因数有无数多个(除0外全是),正因数也有无数多个。 最小正因数是1(因为因数必须是整数)
因数和约数的区别:
约数和因数既有联系,又有区别,这主要表现在以下三个方面。
(1) 约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数。
(2) 约数只能对在整数范围内而言,而因数就不限于整数的范围。 例如:6×8=48。既可以说6和8都是48的因数,也可以说6和8都是48的约数。
又如:0.9×8=7.2。虽然可以说0.9和8都是7.2的因数,却不能说0.9和8是7.2的约数。
从这一点来看,一个数的因数有可能大于它本身,而约数不能大于这个数的本身。
(3) 对于一个整数,凡能整除它的数,都是这个整数的约数。 例如:1、2、4、8、16都能整除16,因此,1、2、4、8、16也都是16的约数。而当一个数被分解成两个或几个数相乘时,因数的个数就受到了限定。
又如:2×8=16。只能说2和8是16的因数,而不能说1、2、4、8、16都是的因数,因为1×2×4×8×16的结果,并不等于16. 约数与因数
约数和因数的区别有三点:
1、数域不同。约数只能是自然数,而因数可以是任何数。
2、关系不同。约数是对两个自然数的整除关系而言,只要两个数是自然数,就能确定它们之间是否存在约数关系,如:40÷5=8,40能被5整除,5就是40的约数,12÷10=1.2,12不能被10整除,10不是12的约数。因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。如:8×2=16,8和2都是积16的因数,离开乘积算式就没有因数了。
3、大小关系不同.当数a是数b的约数时,a不能大于b,当a是b的因数时,a可以大于b,也可以小于b。 一般情况下,约数等于因数。
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