公约数

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公约数

简介

公约数，亦称“公因数”。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数。

1.对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。

公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，最大公约数就是3。再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，最大公约数是10

在老教材中，公约数就是公因数，一个数最大的公约数是它本身，最小的公约数是1。 用约数的个数来分类：1、质数、2,合数。 最大公约数 拼音：zuì dà gōng yuē shù 英语：greatest common divisor

德语：Größter gemeinsamer Teiler(ggT) 最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd； 或highest common factor，简写为hcf)，

指某几个整数共有公约数中的最大一个

例: 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。

重要性质

gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律） gcd(-a,b)=gcd(a,b) gcd(a,a)=|a| gcd(a,0)=|a| gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b) gcd(a,b)=gcd(b, a-b) 如果有附加的一个自然数m,

则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配率) gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数， 则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m 在乘法函数中有：

gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法： * 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来


* 辗转相除法（扩展版） 和最小公倍数（lcm）的关系： gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

a与b有最大公约数，但不一定有最小公倍数。

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。 两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律： * gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。

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