一叶而知秋

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一叶而知秋，一题一世界

——有感于一道平面向量高考题的探究

“一叶知秋”说的是通过一片叶子的凋落，可以知道秋天的到来。体现了微观和宏观的共通和互融，是通过现象看本质的一种途径。学生在学习中往往采用题海战术，被题海淹没，学习效率低下。如果教师能帮助学生通过对一道题的研究，掌握它覆盖的知识点，完成知识网络的构建，体会数学思想方法，培养学生的创新精神，将可以达到出其不意的效果。

平面向量引入高中课堂并不久远，很多的基础知识远未被教师和学生研究到滚瓜烂熟的地步，加之平面向量考题紧密地以考察思维和运算相结合，题型变化多端，技巧层出不穷，向量的核心知识往往被条件掩盖，导致学生在学习向量稍难问题时难以跨越。平面向量自新教材改革引入自今，在高中数学教学中起着承上起下的作用。近年来对平面向量的考察以小题较难，解答题融合向量的工具性为主要考察手段。



题目：（2009年安徽省高考理科第14题）给定两个长度为1 C

B

的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°。如图1所示，点C在 以O为圆心的圆弧AB上变动。若OCxOAyOB,(x,yR),

O 图 1

A

则xy的最大值为______.



分析：本题涉及知识点有：向量的模、夹角、平面向量基本定理、向量的基本运算等。本题的条件“OCxOAyOB”是向量关系，而代求目标“xy的最值”则为数量关系，如何沟通向量关系与数量关系？

解法1：（特殊点和极端点法）由题可知x、y的地位一样，交换x、y的位置，题目的结果没发生任何改变。这样的情况求xy的最值一定是在“xy”或“x、y一个取最大、一个取最小”的时候取到。当点C在弧AB的中点时，OACB是菱形，则xy有最大值2，

C在点A、B处取到最小值1.



解法2：（坐标解析法）建立如图2直角坐标系，

y

B

C

213

)、Ccos,sin,[0,] 易知A1,0、B(,

322

13

)， 由OCxOAyOB，得 cos,sin=x1,0+y(,22即cos=x-

O

图 2

Ax

1213

sin,ysin y,siny, 解得x=cos

2233

易得xycos3sin2cos(



3

)






又[0,]，所以故当且仅当

23



3

[



1

,]，cos()[,1] 3332

2

时，xy有最小值3



3

时，xy取最大值2（同时当且仅当0或

1）。

此法通过建立适当的直角坐标系，利用坐标运算及三角函数相关知识解决问题，简单明了。也可以设Cm,n，由题意可得m=x-

1213

n,yn， y,ny，则x=m

2233

2

2

那么xym3n，且点C在圆弧上则m+n1。用三角换元mcos,nsin，

2

同解法1。也可以直接用柯西不等式（m3n）（m2n2）[12(3)2]4，当且仅当

m=

n

时取到；也可以用方程的思想等等。 3

解法3：（向量的模及数量积运算法）

着重考察灵活运用向量解决几何问题的能力， 同时体现了向量的朴实之美和工具作用。

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