一叶而知秋

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知秋,一叶


一叶而知秋,一题一世界

——有感于一道平面向量高考题的探究

“一叶知秋”说的是通过一片叶子的凋落,可以知道秋天的到来。体现了微观和宏观的共通和互融,是通过现象看本质的一种途径。学生在学习中往往采用题海战术,被题海淹没,学习效率低下。如果教师能帮助学生通过对一道题的研究掌握它覆盖的知识点,完成知识网络的构建,体会数学思想方法,培养学生的创新精神,将可以达到出其不意的效果。

平面向量引入高中课堂并不久远,很多的基础知识远未被教师和学生研究到滚瓜烂熟的地步,加之平面向量考题紧密地以考察思维和运算相结合,题型变化多端,技巧层出不穷,向量的核心知识往往被条件掩盖,导致学生在学习向量稍难问题时难以跨越。平面向量自新教材改革引入自今,高中数学教学中起着承上起下的作用。近年来对平面向量的考察以小题较难,解答题融合向量的工具性为主要考察手段。



题目:2009年安徽省高考理科第14题)给定两个长度为1 C

B

的平面向量OAOB,它们的夹角为120°。如图1所示,点C O为圆心的圆弧AB上变动。若OCxOAyOB,(x,yR),

O 1

A

xy的最大值为______.



分析:本题涉及知识点有:向量的模、夹角、平面向量基本定理、向量的基本运算等。本题的条件OCxOAyOB是向量关系,而代求目标xy的最值”则为数量关系,如何沟通向量关系与数量关系?

解法1(特殊点和极端点法)由题可知xy的地位一样,交换xy的位置,题目的结果没发生任何改变。这样的情况求xy的最值一定是在“xy”或“xy一个取最大、一个取最小”的时候取到。当点C在弧AB的中点时,OACB是菱形,xy有最大值2

C在点AB处取到最小值1.



解法2(坐标解析法)建立如图2直角坐标系,

y

B

C

213

)Ccos,sin,[0,] 易知A1,0B(,

322

13

) OCxOAyOB,得 cos,sin=x1,0+y(,22cos=x-

O

2

Ax

1213

sin,ysin y,siny, 解得x=cos

2233

易得xycos3sin2cos(



3

)






[0,],所以故当且仅当

23



3

[



1

,]cos()[,1] 3332

2

时,xy有最小值3



3

时,xy取最大值2(同时当且仅当0

1

此法通过建立适当的直角坐标系,利用坐标运算及三角函数相关知识解决问题,简单明了。也可以设Cm,n,由题意可得m=x-

1213

n,yn y,ny,则x=m

2233

2

2

那么xym3n,且点C在圆弧上则m+n1。用三角换元mcos,nsin

2

同解法1也可以直接用柯西不等式m3nm2n2[12(3)2]4当且仅当

m=

n

时取到;也可以用方程的思想等等。 3

解法3(向量的模及数量积运算法)

着重考察灵活运用向量解决几何问题的能力, 同时体现了向量的朴实之美和工具作用。




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