最新高考二项式定理题型归纳

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六、二项式定理

一、指数函数运算

知识点：1．整数指数幂的概念

1

aaa(nN*) a01(a0) ann(a0,nN*) ana

an个a

2．运算性质： amanamn(m,nZ) ，(am)namn(m,nZ)，(ab)nanbn(nZ) 3．注意 ① aman可看作aman ∴aman=aman=amn

n

anannnnna② ()可看作ab ∴()=ab=n

bbb

4、a

m

n

nam (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

例题：

13163

例1求值：8,100,(),()4.

481

2

3

12

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

1） a2a,a33a2,aa (式中a＞0) 2)3a4a 3）aaa

例3计算下列各式（式中字母都是正数）(1)(2ab)(6ab)(3ab); (2)(mn)8. 例4计算下列各式： (1)

12

12

14

2312121316561438

a2aa

314

2

(a0); (2)(325125)45

例5化简：(xy)(xy)

例6 已知x+x=3,求下列各式的值：(1)xx

-1

12



12

,(2)xx.

32



32

二、二项式知识回顾

1. 二项式定理

0n1n11

(ab)nCnaCnab

knkk

Cnab

nn

Cnb,

kknkk

ab叫做二项展开式的通项. 以上展开式共n+1项，其中Cn叫做二项式系数，Tk1Cn

（请同学完成下列二项展开式）

0n1n11

(ab)nCnaCnab

knkk

(1)kCnab

nnknkk

(1)nCnb，Tk1(1)kCnab

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01

(1x)nCnCnx

kk

Cnx

nn

Cnx ① kCn(2x)nk

n1

Cn(2x)1

01

(2x1)nCn(2x)nCn(2x)n1

anxnan1xn1ankxnka1xa0 ②

n

Cn2n，即二项式系数和等于2n；

01

Cn① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 Cn

02

Cn偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即Cn13

CnCn

2n1

② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.

2. 二项式系数的性质

mnmCn（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cn.

k

（2）二项式系数Cn增减性与最大值：

当k的.

n1n1

时，二项式系数是递增的；当k时，二项式系数是递减22

当n是偶数时，中间一项C取得最大值.当n是奇数时，中间两项C

n

2nn12n

和C

n12n

相等，且同时取得最大值.



三、考试类型 1、“(ab)n展开式

例1．求(3x解：原式=(

1x

4

)4的展开式；

3x1

(3x1)41

=)=[x2x2x

C

0

(3x)44

C

1

(3x)34

C

2

(3x)24

C

3

(3x)4

C]

4

4

=81x284x【练习1】求(3x 精品文档

1x

121

254 xx

)4的展开式


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2.求展开式中的项 例2.已知在(3x

123x

)n的展开式中，第6项为常数项.

（1） 求n； （2）求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

3.二项展开式中的系数 已知(x

2n

)(nN*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. 2x

32

(1)求展开式中含x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

（x21)(x2)7的展开式中，x3项的系数是 ；



5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 （04安徽改编）(x精品文档

1

2)3的展开式中，常数项是 ； x


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6、求中间项

例6求（x

1

3

x

)10的展开式的中间项；

解：Tr

10r

(1

5r

5252x

6

r1C10(x)3

x

),展开式的中间项为

C

。

10

(x)5(13

x

)5 即： 当n为奇数时，(ab)n

n1n1n1n1n1n1的展开式的中间项是C22

2

nab

和

C

2n

a2b

2

；

当n为偶数时，nnn(ab)n

的展开式的中间项是

C

222

n

ab。



7、有理项

例7 (x13x

)10的展开式中有理项共有 项；



8、求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例8（00上海）在二项式(x1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ；



（2） 一般的系数最大或最小问题

例9求(x18

24

x

)展开式中系数最大的项；

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和



例11．若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a44x， 则(a0a2a4)2(a1a23)的值为 精品文档



；
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解： (2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4

令x1，有(23)4a0a1a2a3a4， 令x1，有(23)4(a0a2a4)(a1a3) 故原式=(a0a1a2a3a4).[(a0a2a4)(a1a3)]=(23)4.(23)4=(1)41



【练习1】若(12x)2004a0a1xa2x2...2004x2004，

则(a0a1)(a0a2)...(a0a2004) ；

【练习2】设(2x1)6a6x6a5x5...a1xa0， 则a0a1a2...a6 ；

10利用二项式定理求近似值



例15．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；

分析：因为0.9986=(10.002)6，故可以用二项式定理展开计算。 解：0.9986=(10.002)6=16.(0.002)115.(0.002)2...(0.002)6 T3

22

.(0.002)15(0.002)0.000060.001， C6

2

且第3项以后的绝对值都小于0.001， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 精品文档


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0.9986=(10.002)616(0.002)=10.0120.988 小结：由(1x)n1

2n

xx...xCnCnCn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，1

2

n

x2,x3,....xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1x)n1nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，

n(n1)2

若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1x)n1nxx。

2



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