二元一次方程组的巧妙解法已抄

2022-04-16 03:50:10   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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谈谈二元一次方程组的简便解法





二元一次方程组的应用范围很广,然而它的解法一般比较复杂,容易出错.我们要认研究,细心观察,根据题目特征寻求又快又好的解题方法. 1. 整体代入法

整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元.有些方程组并不一定能直接应用这种解法,不过,我们可以创造条件进行整体代入.



解析:这道题中的系数较繁,按常规方法去解比较麻烦.我们可以先将②式有目的地进行变形,再将①式中的xy看成一个整体代入求解.

由②式可得化简,得

910

1820

(xy)

14

520

x950

(xy)

910

x950

14



将①代入③,得500x950.解得x2000,代入①可得y1500

故方程组的解为2. 换元法

x2000,y1500.



换元法就是设出一个辅助未知数,分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值,把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解.换元有一定的技巧性.有代数式整体换元,还有设比值换元等多种方法,下面举例说明.



解析:我们可以分别尝试整体换元和设比值换元.

9k32

2x13

y12

kx

3k12

,y2k1

8k48.解得k3

x4,

从而可得方程组的解为

y5.

方法2:设xky

由①得4x3y1,所以(4k3)y1 由②得(3k4)y8 ③÷④,得

44k33k4



18











x4,

解得k.从而可得

5y5.

3. 直接加减法

1




直接加减法有别于课本中的加减消元法,它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单.



解析:若用一般方法去解这个方程组,其复杂程度可想而知,我们采用直接加减法. ①+②,得4013x4013y4013,即xy1 ①-②,得x3y1

x2,

由③④可得

y1.



4. 消常数项法



解析:可将两式消去常数项,直接得到xy的关系式,而后代入消元. ①-②,得3x5y0,即xx

53

y代入②,得

503

53

y

593

y59

y3y59,即

x5,

从而可得

y3.

5. 相乘保留法



解析:去分母时,如果把两数相乘得出结果,不仅数值变大,而且给下面的解题过程带来麻烦,所以有时我们暂时保留相乘的形式.

由①,得xy348

由②,得x9y1248 ④-③,得8y948 从而可得

x90,y54.









6. 科学记数法

当方程组中出现比较大的数字时,可用科学记数法简写. 例6 解方程组

5x2y,

500x250y22500000.



7

解析:22500000这个数比较大,可用科学记数法写成2.2510



由②,可得5x2.5y2.2510 将①代入③,得4.5y2.2510

4

x210,

从而可得

4

y510.

5



5

2




7. 系数化整法

若方程组中含有小数系数,一般要将小数系数化为整数,便于运算.



解析:利用等式的性质,把①式变形为

2x5y40









利用分子、分母相除,把②式变形为

2x410y86 ③-④,得5y50

x5,

从而可得

y10.

8. 对称法

yx

12,57

例8 解方程组

yx12.75

解析:这个方程组是对称方程组,其特点是把某一个方程中的xy互换即可得到另一个方程.

yx

12,

由对称性可知xy,则可得57

xy.

解得

x35,y35.



9. 拆数法

19x21y59,

例9 解方程组

13x17y43.

解析:我们可以有目的地将常数项进行变形,通过观察得出方程组的解. 原方程组可变形为



19x21y192211,



13x17y132171.

x2,

从而可得

y1.



3


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