二元一次方程组的巧妙解法已抄

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谈谈二元一次方程组的简便解法





二元一次方程组的应用范围很广，然而它的解法一般比较复杂，容易出错．我们要认真研究，细心观察，根据题目特征寻求又快又好的解题方法． 1. 整体代入法

整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．



解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的xy看成一个整体代入求解．

由②式可得化简，得

910

1820

(xy)

14

520

x950．

(xy)

910

x950．

14

③

将①代入③，得500x950．解得x2000，代入①可得y1500．

故方程组的解为2. 换元法

x2000,y1500.



换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．



解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元． 方法１：设

9k32

2x13

y12

k，则x

3k12

,y2k1．代入②，得

8k48．解得k3．

x4,

从而可得方程组的解为

y5.

方法２：设xky．

由①得4x3y1，所以(4k3)y1． 由②得(3k4)y8． ③÷④，得

44k33k4



18





③ ④



．

x4,

解得k．从而可得

5y5.

3. 直接加减法

1




直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．



解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法． ①＋②，得4013x4013y4013，即xy1． ③ ①－②，得x3y1．

x2,

由③④可得

y1.

④

4. 消常数项法



解析：可将两式消去常数项，直接得到x与y的关系式，而后代入消元． ①－②，得3x5y0，即x将x

53

y代入②，得

503

53

y．

593

y59．

y3y59，即

x5,

从而可得

y3.

5. 相乘保留法



解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．

由①，得xy348．

由②，得x9y1248． ④－③，得8y948． 从而可得

x90,y54.



③ ④





6. 科学记数法

当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写． 例６ 解方程组

5x2y,

500x250y22500000.



7

解析：22500000这个数比较大，可用科学记数法写成2.2510．



由②，可得5x2.5y2.2510． 将①代入③，得4.5y2.2510．

4

x210,

从而可得

4

y510.

5

③

5

2




7. 系数化整法

若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．



解析：利用等式的性质，把①式变形为

2x5y40．







③ ④

利用分子、分母相除，把②式变形为

2x410y86． ③－④，得5y50．

x5,

从而可得

y10.

8. 对称法

yx

12,57

例８ 解方程组

yx12.75

解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的x、y互换即可得到另一个方程．

yx

12,

由对称性可知xy，则可得57

xy.

解得

x35,y35.



9. 拆数法

19x21y59,

例９ 解方程组

13x17y43.

解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解． 原方程组可变形为



19x21y192211,



13x17y132171.

x2,

从而可得

y1.



3

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