初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竞赛辅导资料（9）

一元一次方程解的讨论

甲内容提要

1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解也叫做根．

例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0， |x|=6， 0x=0， 0x=2的解 分别是：x=－3， x=0或x=1， x=±6，所有的数，无解．

2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=

b

； a

当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解．（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3， 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数．

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题

例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？

解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=

②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=

4 a

4

，∴只要a与4同号， a

即当a>0且a≠2时，方程的解是正数． 例2 k取什么整数值时，方程

①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？

②（1－x）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4

当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数． ②化为最简方程kx=k－6，

当k≠0时x=

k66

=1－， kk

只要k能整除6， 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数

当 k=1，2，3时，方程的解是负整数－5，－2，－1．

例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解．问a和b应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b

∵方程无解，∴a－b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0．

例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知 当 

3a2b80

时，原方程有无数多解．

2a3b70

；.


.

解这个方程组得

a2



b1

答当a=2且b=1时，原方程有无数多解． 丙练习

1．根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

① (x+1)=0， ②x2=9， ③|x|=9， ④|x|=－3， ⑤3x+1=3x－1， ⑥x+2=2+x

2．关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3．在方程a(a－3)x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；

当a＿＿＿＿＿时，有无数多解； 当a＿＿＿＿时，解是负数． 4．k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？

① x=

462k33k2 ②x= ③x= ④x= kk1kk1

5．k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？

6．m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？

3x6a2

的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ 1

42

x2

8．m取什么整数值时，方程(1)m1m的解是整数?

33

b3

己知方程(x1)1ax有无数多解，求a、b的值．

22

7．己知方程



；.

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