人教版高中数学-弧长公式应用举例

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浅谈弧长公式及其应用



引入弧度制后，弧长公式变得更加简单，l||R, 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积，同时将有扇形面积公式：S

下面对其应用做简单分析，供同学们学习时参考. 一、求弧长、圆心角、半径

例1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A、2 B、sin2 C、

11

lR||2R. 22

2

D、2sin1 sin1

解：如图，AOB2(rad)，过O作OCAB于C，并延长OC交弧AB与D，

1

AB1. 2

AC1

在RtAOC中，OA， 

sinAOCsin1

12

从而得弧AB的长l||R2，选C. 

sin1sin1

AODBOD1(rad)，且AC

A、

D

C

A

O

B

例2．若一段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）

2

B、 C、3 D、2

33

解：设正ABC是半径为R的圆O的内接三角形，则弦AB所对的圆心角为

2

，过O作ODAB交AB于D，则在直角AOD中，AOD，于是，AOB33

AB2AD2

3R

3R. 所以，弧长l3R. 2

l3R3，选C. RR

由弧长公式l||R，得二、求弦长

例3．一个扇形AOB的面积为1cm，它的周长为4cm，求弦长|AB|. 解：如图，设扇形的半径为R，则有又由

2

1

(42R)R1R1(cm). 2

O/

A

O

B

1

AOBR1AOB2(rad). 2

所以，|AB|2|AO|2sin1. 三、求扇形面积

例4．已知一个扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使

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面积最大？最大面积是多少？

解1：设扇形的半径为R，圆心角为(02)，弧长为l，面积为S. 则有2RR20R

20

. 2

200200200

25. 42284()8

1200

SR22

2(2)





等号当且仅当

2



0，即2时成立，此时R5.

2

故当半径为5cm，圆心角为2rad时，扇形面积有最大值25cm.

解2：设扇形的半径为R，圆心角为(02)，弧长为l，面积为S.

11

Rl(202R)R(R5)22525. 22

l20252

当半径R5cm时，扇形面积有最大值25cm. 这时2(rad).

R5

则有l202R. 所以，S四、其他

例5．（2004年浙江卷）点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动达点Q，则点Q的坐标为（ ）

2

弧长到3

（A）(

13311331,) （B）(,) （C）(,) （D）(,) 22222222

yQ

2

解：设点Q的坐标为(x,y)，依题意，得POQ.

3

13

. 过P作PHOx于H，则QOH. 所以，|OH|,|HQ|

223

由于点P在第二象限，故点的坐标为Q(



H

O

P(1,0)x

13

,)，选A. 22

例6．如图，圆上一点A按逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每秒转过角，

经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟回到原来的位置，求角的0，

y

大小. A

解：设经过14秒钟A转过了k圈，设OA1，由弧长公式及已知条件，得 142k(kZ)，即

k

(KZ). 7

O

x

0，022.

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