菱形的判定

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第2课时 菱形的判定

1．掌握菱形的判定方法；(重点)

2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)

一、情境导入

我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？

菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等；

3．每条对角线平分一组对角．

这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？

二、合作探究

探究点一：菱形的判定

【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，在△ABC中，D、

E分别是AB、

AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

求证：四边形BCFE是菱形．

解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．

【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，AE∥BF，AC平分∠BAD

，且交

BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：

(1)AC⊥BD；

(2)四边形ABCD是菱形．

解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形

ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．

证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；

(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．

方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．

【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：



①分别以A，C为圆心，大于1

2

AC的长为半径画

弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF. (1)求证：△AED≌△CFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形． 解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．

证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，

∠EAC＝∠FCA，

∠AED＝∠CFD，∴△AED≌△CFD(AAS)； AD＝CD，

(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．




方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．

探究点二：菱形的判定的应用

【类型一】 菱形判定中的开放性问题

如图，平行四边形ABCD中，AF

、CE分

别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．

解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.

方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用

如图，在四边形ABCD中，AB＝

AD，CB

＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.

(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对等边”，可得AD＝CD.再由条件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD.

AB＝AD，

(1)证明：在△ABC和△ADC中，

BC＝DC，

AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，

AB＝AD，

∠BAF＝∠DAF，

AF＝AF，

∴△ABF≌△ADF(SAS)

，

∴∠AFD

＝

∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；



(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；

(3)解：当EB⊥CD于E时，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF

BC＝CD，

＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，

∠BCF＝∠DCF，

CF＝CF，

∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝

∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.

方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

三、板书设计 1．菱形的判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用

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