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平面向量有关概念和定理
有关概念 向量 （自由向量） 向量的模 特 殊 向 量
定义 表示 坐标表示
既有大小又有方向的量
（可平移）
用有向线段表示（规定了起终点）记
作
a(a1,a2)，b(b1,b2)
AB，a
OA(a1,a2)，OB(b1,b2)
AB(b1a1,b2a2)
|AB|(b1a1)2(b2a2)2
向量的长度 方向相同大小相等的向量
|AB|，|a|
aa
相等向量
a,b同向
ab
|a||b|
a(a1,a2)，b(b1,b2)
aba1b1,a2b2
零向量 单位向量 与a同向单位向量
长度为0的向量 长度为1的向量 在a的方向上长度为1的
向量
（起点和终点重合）
0
0(0,0)
e，|e|1
e(cos,sin)，θ为向量和x轴夹角
e
a
， a|a|e
|a|
e(
xx2y2
,
yx2y2
)
a//b存在一个实数λ，使得
a(a1,a2)，b(b1,b2)a//b
向量方向相同或相反 所在直线（基线）平行或
平行（共向量关系
垂直向量 定义
与a垂直且等长
三点共线向量参数方程
O,A,B不共线且APtAB
ab
存在λ，使b1a1,b2a2
a(a1,a2)，b(b1,b2)a//b
重合。0与任意向量平行
a//b存在不全为零的实数λ、μ，存在λ、μ，使a1b10，
线）向量
与a
使得ab0（线性相关）
a2b20
a//b
a1a2
a1b2a2b10 b1b2
(a1,a2)共线 a(a1,a2)
(
与a共线的单位向量 向量夹角为90° 与a
a1
2
a12a2
,
a2
2
a12a2
)
或
(
a1
2
a12a2
,
a2
2
a12a2
)
abab0 abab0
x1x2y1y20
与a垂直的单位向量
(x,y)垂直
a'(y,x)
(
a2
2
a12a2
aeae0
,
a1
2
a12a2
)
或
(
a2
2
a12a2
,
a1
2
a12a2
)
a按顺时针方向旋转得到(a2,a1)
2
a按逆时针方向旋转得到(a2,a1)
2
O,A,B不共线且P分AB的比为λO,A,B不共线且A、B、C共线
OP(1t)OAtOB
称向量AB的参数方程
1即：APtPB
OP
OAOB 1
存在唯一实数对（x，y）
xy1
OCxOAyOB
平行向量基本定理
平面向量基本定理
a//b(b0)存在一个实数λ，使得a
b
e1,e2不共线，平面内任
一个，a都有唯一的一对
{e1,e2}：平面的一组基底
a1,a2使aa1e1a2e2
aa1e1a2e2称a关于{e1,e2}
(a1,a2)称为a关于{e1,e2}的坐标
的分解式
数量积的性质和应用
定义
ab|a||b|cosa,b
ab|a||b|cosa,b
a(x1,y1)，b(x2,y2)
abx1x2y1y2
x1x2y1y2x1y1x2y2
2
2
2
2
向量夹角 数
向量在轴上量
的射影 积
三角形面积 常用公式
平移到共起点后正方向所形成的角
向量起点和终点向轴做垂线，垂足间形成的向量
cosa,b
ab
|a||b|
cosa,b
b在a方向上的射影：
a在b方向上的射影：
abx1x2y1y2
22
x2y2|b|
ab|a|
x1x2y1y2 x1y1
2
2
向量a,b构成三角形的面积
2
2
2
1
S|a||b|sina,b
2
2
2
S
1
|x1x2y1y2| 2
2
(ab)(a)2(ab)(b)|ab||a|2|a||b|cosa,b|b|；(ab)2(ab)22ab
(ab)(ab)(a)(b)|a||b|；(ab)2(ab)22[(a)2(b)2]2(|a|2|b|2)；
2
2
2
2
a0,b0，|ab||ab|ab，|a||b|(ab)(ab)
平面向量基本运算
运算 项目
加法
三角形法则
减法
加法的逆运算 三角形法则
数乘
大小：|a||||a|
0,与同向
0,与反向方向：
0,a0
数量积
定义或法则
平行四边形法则 多边形法则
ab|a||b|cosa,b
坐标 运算
a(x1,y1)，b(x2,y2)，a,b
ab(x1x2,y1y2)
ab(x1x2,y1y2)
a(x12,y1)
(bc)bc
abx1x2y1y2
abba
ab(ba)
abba
运算律
a(bc)(ab)c
abacbc
()aaa
c(ab)cbca
abacbc
abacbc
bcbc
(bc)(b)c
()a(a)(a)
模长
共线同向 共线反向
||a||b|||ab||ab||a||b|
||a||b|||ab||ab||a||b|
|a||||a|
|ab||a||b| |ab||a||b|
本文来源：https://www.wddqxz.cn/dd44f35fd8ef5ef7ba0d4a7302768e9950e76ed2.html
2023-01-15
