2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题精校版

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2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题

第一天

1.设奇数n3，求证：

2.对正整数n，用S(n)表示0~n1在十进制的数码和之和，求证：对任意正整数mn，

1



arccos

1

是无理数. n

S(mn)S(m)S(n)n.



3.如图，在ABC中，BC是最长边，设AC的中垂线与直线BC,AB分别交于点D,E,B

关于此中垂线的对称点为F.设AB的中垂线与直线BC,AC分别交于点J,K,C关于此中垂线的对称点为L.设BL,CF交于点N，BJL的外接圆与直线JN交于另一点R，

CDF的外接圆与直线DN交于另一点Q.过N作BC的平行线交直线EK于点P，设

M是FL,BC的交点，l是ABC外接圆平行于BC的直径，求证：直线QR,MP,l交于一

点.



4.将一个20232023方格表的每个黑白染色，满足每个22小正方形中均至少有一个黑

格，且每个黑格均在22小黑色正方形中（四个格都是黑格）中.记ai为每行中黑格的个数，

bi为每列中黑格的个数，求(ai2bi2)的最大值.

i1

2023

1


第二天



5.给定正整数nm，求所有的数组(i1,i2,

足

6.是否存在质数p和非零整系数多项式f,使得对任意正整数，1,2,

,im)(1i1i2

n

imn)，使得对任意满

x

i1

n

i

0的实数组(x1,x2,,xn)(x1x2

xn)，都有xik0.

k1

,p中至少有

p2023个正整数n使得pf(n)？



7.魔术师和小美在2N2N的方格表中放入12或21的骨牌.魔术师先放入一些两两无公共格的骨牌，满足对任意1M2N，方格表中每个MM的正方形至多与

M2

个已

放入的骨牌有公共格.求证：小美可以再放入骨牌恰覆盖方格表中余下的方格.



8.设简单有向图G的顶点是101000（10行1000列）的格点.G的边满足：除最后一列外，每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点；除第一列外，每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向；G中无其他边，对最后一列的每个顶点v赋予一

个实数qv0,1.对其余每个顶点u，若从u出发的三条边指向的三个不同顶点为

a,b,c，其递归地定义qu

qaqbqc

.求证：quqv150 3uvE

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