2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题精校版

2023-10-01 17:56:17   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题

第一天

1.设奇数n3,求证:

2.对正整数nS(n)表示0~n1在十进制的数码和之和,求证:对任意正整数mn

1



arccos

1

是无理数. n

S(mn)S(m)S(n)n.



3.如图,在ABC中,BC是最长边,设AC的中垂线与直线BC,AB分别交于点D,E,B

关于此中垂线的对称点为F.AB的中垂线与直线BC,AC分别交于点J,K,C关于此中垂线的对称点为L.BL,CF交于点NBJL的外接圆与直线JN交于另一点R

CDF的外接圆与直线DN交于另一点Q.NBC的平行线交直线EK于点P,设

MFL,BC的交点,lABC外接圆平行于BC的直径,求证:直线QR,MP,l交于一

.



4.将一个20232023方格表的每个黑白染色,满足每个22小正方形中均至少有一个黑

格,且每个黑格均在22小黑色正方形中(四个格都是黑格).ai为每行中黑格的个数,

bi为每列中黑格的个数,求(ai2bi2)的最大值.

i1

2023

1


第二天



5.给定正整数nm,求所有的数组(i1,i2,



6.是否存在质数p和非零整系数多项式f,使得对任意正整数1,2,

,im)(1i1i2

n

imn),使得对任意满

x

i1

n

i

0的实数组(x1,x2,,xn)(x1x2

xn),都有xik0.

k1

,p中至少有

p2023个正整数n使得pf(n)



7.魔术师和小美在2N2N的方格表中放入1221的骨牌.魔术师先放入一些两两无公共格的骨牌,满足对任意1M2N方格表中每个MM的正方形至多与

M2

个已

放入的骨牌有公共.求证:小美可以再放入骨牌恰覆盖方格表中余下的方格.



8.设简单有向图G的顶点是101000101000列)的格点.G的边满足:除最后一列外,每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点;除第一列外,每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向;G中无其他边,对最后一列的每个顶点v赋予一

个实数qv0,1.对其余每个顶点u,若从u出发的三条边指向的三个不同顶点为

a,b,c,其递归地定义qu

qaqbqc

.求证:quqv150 3uvE

2


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