2012四川大学数学分析考研真题

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四川大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试题

一.极限问题（每小题8分，共32分） 1.设集合证明

A，supA，A.

xn. A中存在严格单调递增数列{xn}，满足limn

a，x1b(0ab)，且xn1xnxn1

x2

2.设x0，(n1).证明{xn}收敛，并求lim

n

xn.

exsinx1

3.求lim.

x0x4

cosx3cosx4. 求limx0ln(x21)

.



二.计算积分（每小题8分，共32分） 1.求0



1

x2011x1005

dx.

lnx

2

2

1

1

2.设

f(x)在[0,1]上可积，且满足x(lnx)f(x)0f(x)dx，求0f(x)dx的值.

2222(x2yz)dsxyz1与平面xyz0的交线. L，其中为球面L

3.计算

xdyydx222

(x2)yrL4.计算L2，其中是圆周（r0，r0），取逆时针方向.

x2y2

5.计算



S

(x2y)dydz(yz)dzdx(z2)dxdy

x2y2z2

其中S为椭球面2221的上半部分，其方向为下侧.

abc



an

三.(15分)设正项级数an发散，且Snak，讨论

n1Snn1k1



n



的敛散性，其中0.



四.（15分）讨论函数

12

(xy)sin2

f(x,y)xy2

0

的偏导数fx，



(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)



fy在原点的连续性和f

在原点的可微性.

1






五.（15分）设

f(x)在(0,2)上二阶可导，f''(1)0.

f'(1)

f(x2)f(x1)

.

x2x1

证明:存在x1,x2(0,2)，使得

六.（12分）设连续函数

七.（每小题7分，共21分）设



f:RR在所有无理数处取有理数值，且f(0)1，求f(x).



f(x)

1

sinxt

dt,x(,) 2

t(1t)

证明：1.证明积分1 2.证明 3.证明



sinxt

dt关于x在(,)一致收敛 2

t(1t)

x

limf(x)0

f(x)在(,)上一致连续.

2

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