函数的概念与基本初等函数-函数及其表示

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函数的概念与基本初等函数

第一节 函数及其表示

1．函数的有关概念

函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

求函数定义域的策略

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．

常见求函数定义域类型：

①偶次根式：偶次根式根号内的式字大于等于零，如若y=②分式：分式分母不为零，即若y

f(x),则f(x)0.

f(x)

，则g(x)0. g(x)

③对数式：对数式真数大于零，即若ylogaf(x)，其中a>0且a≠1,则f(x)0 ④对于ytanf(x)，则有f(x)抽象函数的定义域问题

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 2.函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

3.函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

4.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 5.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

关于分段函数的3个注意

(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．



2

k,kZ






(3)各段函数的定义域不可以相交． 6.求函数解析式的4种方法及适用条件

(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．

(2)换元法

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．

(3)配凑法

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)解方程组法

1已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

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