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课题:函数的奇偶性 (一) 主要知识:
设yf(x),xA,如果对于任意xA,都有f(x)f(x),1.函数的奇偶性的定义:
则称函数yf(x)为奇函数;如果对于任意xA,都有f(x)f(x),则称函数
yf(x)为偶函数;
2.奇偶函数的性质:
1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; 2f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称; f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称;
3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
3.f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|). 4.若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)0.
(二)主要方法:
1.判断函数的奇偶性的方法:
1定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非奇非偶函数;若
对称,则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否定义域上的恒等式;
2图象法;
3性质法:①设
DD1
f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域
D2上:奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇;
②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f(x)f(x)0,
典型题型
f(x)
1. f(x)
问题1.判断下列各函数的奇偶性:
13
f(x)x21x21; 2f(x)f(x)lg(1x2x); 4
; 2x2(x0)xxf(x)2
(x0)xx
12x
2
问题2.利用函数的奇偶性求解析式
已知f(x)是R上的奇函数,且当x(0,)时,f(x)x(1
则f(x)的解析式为
3
x),
问题3.利用定义判断抽象函数的奇偶性
1.已知函数f(x)满足:f(xy)f(xy)2f(x)f(y)对任意的实数x、y总成立,且f(1)f(2).求证:f(x)为偶函数.
2.已知函数f(x)对一切x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),
1求证:f(x)为奇函数;2若f(3)a,用a表示f(12).
问题4.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用 .1已知f(x)是偶函数,xR,当x0时,f(x)为增函数,
若x10,x20,且|x1||x2|,则
A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2)
C.f(x1)f(x2) D. f(x1)f(x2)
2设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1m)f(m),
求实数m的取值范围
问题5:利用函数的奇偶性求值
已知f(x)axbxcxdx5,其中a,b,c,d为常数,若f(7)7,
7
5
3
则f(7)_______
问题6:数形结合
1设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)0的解是
y
yf(x)
5
• • O 2 • x
问题7:已知函数的奇偶性求参数
ax21
1.已知函数f(x)(a、b、cZ)为奇函数,又f(1)2,f(2)3,
bxc
求a、b、c的值 .
xm
是奇函数,则常数m____,n_____
x2nx1
2
3.已知函数f(x)axbxc,x2a3,1是偶函数,则ab
2.定义在(1,1)上的函数f(x)
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