拉普拉斯方程从直角坐标系到球面坐标系的变换

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拉普拉斯方程从直角坐标系到球面坐标系的变换

苏立波;李川;许江勇

【摘 要】在球面坐标系中求解拉普拉斯方程一直是《数学物理方法》课程中的主要难点.运用二阶偏导数的运算规则对拉普拉斯方程从直角坐标系到球面坐标系的变换进行推导,推导过程中的数学运算技巧对大学生逻辑思维能力的发展具有很好的促进作用.

【期刊名称】《兴义民族师范学院学报》 【年(卷),期】2013(000)006 【总页数】5页(P106-110)

【关键词】拉普拉斯方程;球面坐标变换;二阶偏导数;数学运算计巧;逻辑思维能力 【作 者】苏立波;李川;许江勇

【作者单位】兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400;兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400;兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400 【正文语种】中 文 【中图分类】O177.6

数学物理方法是物理教育专业本科生的一门重要基础课，它是高等数学课程的延伸；要求学生能运用学到的基本数学方法解决常见的物理问题，注重逻辑推理的系统性和严谨性。在球面坐标系中求解拉普拉斯方程是数学物理方法课程中的一个主要难点，数学运算复杂，推导过程冗长。对于教材中直接给出的球面坐标系中的拉普拉


斯方程，学生往往感到如坠云海。为了解决这个多年来一直困扰着数学物理方法课程教学的疑难问题，运用二阶偏导数的运算规则对拉普拉斯方程从直角坐标系到球面坐标系的变换过程进行了推导。 一、变换过程

在没有电荷存在的空间中，静电场的电势满足直角坐标系中的拉普拉斯方程：

利用直角坐标与球面坐标之间的变换关系，，先把x，y，z分别对r， 求一阶偏导数：

把u看成r， 的复合函数，再求u对r， 的一阶偏导数和二阶偏导数：

为了合并展开式中的项，进行以下变换：

把相加后合并同类项,其中为直角坐标系中的拉普拉斯方程：

为了把上式中的，在的展开式中乘以rsinθ，在的展开式中乘以cosθ：

然后把与相加：

把变换后的结果代入的展开式中：

移项后得：




由此得到球面坐标系中的拉普拉斯方程： 二、结语

运用二阶偏导数的运算规则对拉普拉斯方程从直角坐标系到球面坐标系的变换过程进行推导，是对《数学物理方法》教材的进一步补充和完善，可以帮助学生更好地理解求解拉普拉斯方程的整个过程。推导过程中体现出来的清晰数学思想对学生提高数学运算技巧和增强逻辑思维能力具有很好的促进作用。 参考文献：

[1]梁昆淼编.数学物理方法（第四版）[M].高等教育出版社，2010. [2]四川大学数学系编高等数学（物理类专业用、第三版）第 一、 二、

三、四册［M].高等教育出版社，2005.

[3]汪昭义编.普通物理学（修订版）[M].华东师范大学出版社，1997.

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