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变量之间的关系 济宁学院附中李涛
【基础知识】 知识网络
变量之间的关系
1.表格法 2.关系式法
速度时间图象
路程时间图象
3.图象法
自变量 因变量
变量的概念
变量的表达方法
知识点一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量如何确定：（方法技巧）
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 （3）利用具体情境来体会两者的依存关系。 知识点二：变量的表示方法 1.列表法
1.定义：表格是采用数表相结合的形式，运用表格表示两个变量之间的关系，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个变量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量. （3）自变量从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。结合实际情境理解它们之间的关系。
特点：优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。 2.关系式法（又叫解析式法）
1、定义：关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学等量关系式叫做关系式。 2、本质：是数学等量关系式
3.写法注意，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求关系式的方法：--（就是找等量关系）
类型：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据等量关系，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据相同的变化关系写出变量之间的关系式；（例如：y变化一样都和第一个比） （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
注：有些表达式要分段写出（分类讨论思想），例如：分段收水费（煤气费、电话费）等. 4、关系式的应用： （代入法）
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； 代入法格式： 当x= ，y= （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值； 当y= ，x=
5.特点：优点：关系简洁，清楚、准确，知一变量可求另一变量。缺点：不直观，形象，不能直接读出变量的值。 3.图象法
1.定义：对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。
注意1、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。 2首要：要明确图象问题中中所表示的是哪两个变量；
重点:3、图象理解（读图象） “三看”（1）一要看横轴表示哪个变量，意义是什么（单位）；
（2）二看纵轴表示哪个变量，意义是什么；（单位）（纵轴表示的对象不同，图象就不同） （3）三看图象的变化，趋势。关键是抓住关键点（起点、终点、拐点、折点、最高点、最低点，已知点）理解图象上这些点的意义，分别看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）就是弄清对应关系； 类型：（1）由图象 得 信息。（文字的或计算的） 方法：三看，带着问题看图象. 单图象问题： 三看，（拐点，分清每一段）带着问题看图象.
双图象问题 三看，1）读懂单独的图象（起点、终点），2）找两个图象的关系（交点）。带着问题看图象. （2）由信息（文字的或图形的） 得 图象 方法：标反映过程变化的词语，弄清过程.（排除法） 特点：非常直观、形象。图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是有误差的。
重要：两种图像的区别---平行于横轴的意义 1、v-t图（速度与时间）
说明：线段OA表示汽车正在加速行驶：线段AB表示汽车正在匀速行驶，线段BC表示汽车正在减速行驶；线段CD表示汽车停止了行驶。
速度时间图象规律：1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速（速度不变）行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
2、s-t（距离与时间）
说明：线段OA表示汽车正在离开出发地，线段AB表示汽车停止了行驶（V=0，S不变）线段BC表示汽车正在返回出发地，线段CD表示汽车已经回到了出发地并停止了。（S=0，V=0）
注意：理解平行于横轴的线段的不同含义（在这段时间内因变量不变）、
路程时间图象规律：1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表距离增加，匀速远离（速度不变）； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表距离不变，静止（速度为0）； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点距离减少，（速度不变）。 知识点三：变化速度的比较-- -- -- 越斜越快，越平越慢
在相同时间内因变量变化速度的比较，哪一支图像更陡一些，这支图像代表的因变量的变化会更快一些。 1、上升（或增长）速度
甲图像更陡，所以甲增长的更快。（越斜越快，越平越慢） 2、下降（或减少）速度
甲图像更陡，所以甲速度下降的更快。（越斜越快，越平越慢）
注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）. 注意：三种表示方法的关系
1.表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。 2.三种变量之间关系的表达方法与特点：
知识点四：事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种：
1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；
2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）
注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等. 知识点五：估计（或者估算）
对事物的估计（或者估算）有三种：
1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；
2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.
【例题讲解】
（写表达式）1.某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元.
（1） 写出年产值（2）
y（万元）与年数x之间的关系式.
用表格表示当x从0变化到6（每次增加1）y的对应值.
（3） 求5年后的年产值.
（读图象）2. 如图10，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.
（1） 图中反映了哪两个变量之间的关系？⑵.超市离家多远？ （2） 小明到达超市用了多少时间？⑸.小明往返花了多少时间？ （3） 小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？
（4） 小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多
少？
（读双图象）3.如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了13千米。根据图象回答：
（1） 甲是几点钟出发？
（2） 乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？ （3） 到十点为止，哪个人的速度快？ （4） 两人最终在几点钟相遇？
（5） 你能将图象中得到信息，编个故事吗？
距离(米)900
时间(分钟)
o
5101520253035404550
路程
（千米）
40302010
考点一：变量、自变量、因变量的定义
技巧总结：（1）自变量是在一定范围内主动发生变化的变量；
（2）因变量是随着自变量的变化而发生变化的变量；
考点二、变化中的三角形： 技巧总结： 方法找等量关系
甲
乙
8:009:0010:0011:00
时间
写出变化关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边为用自变量表示因变量的代数式。 考点三、温度变化及速度变化
知识点一、两个变量之间的关系的第三种表示方法-----图像法
技巧总结：注意观察图像，由图像获取正确信息 技巧总结：正确分析起点及两个变量的特征是解题的关键
本文来源：https://www.wddqxz.cn/d6a9183056270722192e453610661ed9ad515582.html
2022-04-07
