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求极限的各种方法总结及推广
一、利用定义求极限 极限定义:
说明:1. 中的ε也可以是ε的常数倍ε-M; 2.由可知是有界数列(因为在
的外部仅有N项,在这有限项中必有M和m,从而是有界的); 3.的几何意义及否定叙述:除了 外的有限项N外,所有下标大于N的项都落在领域内; 否定叙述: ,有
小结:利用定义证明极限就必须注意,N和X的关键作用,只有当nN或xX时,才有估计式 或
,因而产生了利用定义证明极限的分段估值法。 二、利用定理求极限
柯西收敛准则:数列{ ｝收敛的充要条件是:对 ,总存在某一个自然数N,使得:当n,mN时,都要
小结:柯西收敛准则所反映的事实:“收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近。以至它们之间的差的绝对值可小于任何预先所给的正数。”斯笃兹定理是解决 与型极限的重要工具,适用于离散情形。 三、洛必达法则 1.,2..
f(x),g(x)在点a的某空心领域内可导,且 ,且 则:
f(x),g(x)在 内可导,且, , 则:
3.类似有单侧极限的不定式的洛必达法则
小结:洛必达法则是数学分析中解决 与 型极限的重要工具,适用
于连续情形。
四、利用泰勒公式求极限 常用的泰勒公式有:
小结:这种方法是利用泰勒公式将函数展开后直接代入或经过变换后代入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限。
五、利用两边夹法则求极限
定理1.对于数列{xn｝、{yn｝、{zn｝,如果存在某一自然数N1,使当nN时,有xn≤yn≤zn,并且 则 。
定理2.如果对于点x0的某一领域内的一切x ,但x0本身可以除以(或对于绝对值大于某一正数的一切x )有不等式 g(x )≤f(x )≤h(x )成立,而且 , 则。
小结:这一方法也称为夹逼法,它是利用不等式的极限定理来计算极限运用这一法则,不仅可判定数列或函数的极限存在性,而且能求得其极限值,使用两边夹法则求数列和函数的极限,关键在于把xn或f(x )适当放大或缩小,所谓适当放大与缩小是指:放大缩小后,保证所选的数列{yn｝与{zn｝或所选的函数g(x )与h(x )有相同的极限。 六、利用数列的递推关系求极限
1.利用递推关系求出通项公式,然后求极限。这是基本的方法,它把极限存在性与极限求值问题一起来解决。
2.如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A。令数列的第n项记为,于是利用无穷小和极限的关系,只须证明 ,便可推知数列的极限确实存在并且等于A。 七、级数法
我们知道,如果级数收敛,则 ,这个条件叫做级数收敛的必要条件。当数列极限不易求出,如果可以把这数列的通项看成是某级数的通项,而对此数列的收敛性的判别又比较容易时,则由级数收敛的必要条件
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2024-02-08
