广州大学大数学分析考研试卷06

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二00六年攻读硕士学位研究生入学考试试题



专业名称：基础数学、概率论与数理统计、应用数学 科目名称：数学分析 科目代码：323

一．计算下列各题（每题5分，共50分）

11x

1.求极限limx； 2.计算积分(xx)edx;

1x0

x

3.求积分



a

a

(xa2x2)dx；

4.求曲面z=arctan

y

在点（1，1，）处的切平面方程；

4x

5.求极限

132n1

lim(2); nn222

6.计算二重积分

e

D

(x2y2)

dxdy

，其中D是为圆域：xyR；

222

2n1x3x5nx(1),1x1的和函数； 7.求级数x352n1

xn

8.求幂级数nn

abn0



（a>0,b>0）的收敛域；



9.求曲线积分



L

xy

22

xacost,

{ds，其中L为半圆周：yasint, 0t；

x21

10.求曲线y的渐近线.

x1



二．求解下列各题（共70分）


1. 设数列a0,0,x1

11

(a),xn1(xn),n1,2,.证明数列{xn}收22xna

敛，且求出其极限值（10分）； 2. 计算二重积分

分）；



2y

xedxdy，这里积分区域D是由直线x=0，y=1及y=x围成的（10D

2

3. 计算 5． 计算



20

cosxe(12x)

dx（10分）； 4. 计算lim（10分）； 2x0cosxsinxln(1x)

x

1

2

dS2222

，其中S是球面被平面z=h（0）所截的顶部（10分） xyzazS

ydxxdy

Lx2y2，其中L是

6.计算沿闭曲线正向一周的曲线积分

（1）不包含原点于内部的简单闭曲线（5分）； （2）包含原点在内部的简单闭曲线（5分）。

1x

7. 计算lim(1tan2t)tdt（10分）

x0x0

三、设函数f在点x0的某空心邻域U_(x0;)内有定义.证明：

xx0

1

0'

limf(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递增数列

n

0

{xn}U(x0;')，有limf(xn)A.(10分)

四、在半径为a的半球内，内接一个长方形，问各边长多少时，其体积最大？（10分）

五. 证明不等式ln(1n)1

111

1lnn(n2)（10分） 23n

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