第8课时等差数列的前n项和(3)

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学习要求

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3．利用等差数列解决相关的实际问题。

【自学评价】

等差数列的性质：

1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和

Snna1

n(n1)

2

d d2n2(ad

12

)n是关于n的常数项为0的二次函数.

2．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。 3．当mnpq时,则有

amanapaq，

特别地，当mn2p时，则有

aman2ap

4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是等差数列．

5．若{an}、是等差数列，

Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列 6．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，

S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时， S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中 （这里a中即an）；S奇S:

偶

k()1:k

。

7．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为

AAn

听课随笔

n、Bn，且

Bf(n)，则n

an(2n1)anA2n1

b(2n1)b nnB2n1f(2n1). 8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.

【精典范例】

【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前

一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【解】 这个剧场各排的座位数组成等差数列，其中公差ｄ＝２，项数ｎ＝２０，且第２０项是ａ２０＝６０ 由等差数列的通项公式，得



所以a122

由等差数列的求和公式，得

答 这个剧场共有820个座位.



【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？





【解】卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为 20.05，20.15，…，59.95． 因此，各圈的周长分别为



因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为ｎ，则

59.95＝20.05＋（ｎ－１）×0.1，


所以ｎ＝４００．

显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得



答 满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ． 【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．

（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？ （２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元） 【解】（１）设每月存Ａ元，则有 Ａ（１＋2.1‰）＋Ａ（１＋２×2.1‰）＋…＋Ａ（１＋３６×2.1‰）=20000 利用等差数列求和公式，得



解得A≈535(元) （２）由于教育储蓄的存款总额不超过２万元，所以３年期教育储蓄每月至多可存入

20000

36≈５５５（元）．这样，３年后的本息和为





答 欲在３年后一次支取本息２万元，每月大约存入535元．３年期教育储蓄每月至多存入555元，３年后本息合计约20756元．

追踪训练一

1. 已知an =

nn2156

(n∈N*), 则数列{an}

的最大项是（ C ） A．第12项



B．第13项

C．第12项或第13项

D．不存在

2. 已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２

＋…＋ａ１０１＝０，则有（ Ｃ ）． Ａ．a1a101＞０ Ｂ．a1a101＜０ Ｃ．a1a101＝０ Ｄ．a5151

3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，听课随笔 问它是几边形．

【答案】9边形

4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？



【答案】将剩余10根圆钢

5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？

【答案】一昼夜内它一共敲180下

【选修延伸】

【例4】已知数列an的通项公式为an＝

1

(2n1)(2n1)

，求它的前n项和．

分析：我们先看通项a1

n＝(2n1)(2n1)

，

然后将其分裂成1212n11

2n1

，

再求和． 【解】 ∵1

11(2n1)(2n1)=22n112n1



∴

S1111111n2[(13)(35)(2n12n1

)]

=

n2n1

点评: 如果数列的通项公式可转化为fn1f(n)形式，常采用裂项求和的方

法．特别地，当数列形如



1

a，其中nan1an

是等差数列，可尝试采用此法．

常用裂项技巧如：


1111

n(nk)knnk

，

1nkn1

k

nkn

等．

【例5】已知数列a满足a2

n13

，

an

n1n1

an，求an.

【解】由条件知an1n

a1

，分别令

nnn1,2,3,,(n1)，代入上式得

(n1)个等式累乘之，即

a2a3a4

ana1a2a3an1

12a12334

n1

n

na 1n又a2

13，

a2n3n

追踪训练二

1．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（ A ）

A.－4(mn)

B.－

mn

mn 4(mn)



C.－2(mn)mn



D. －mn

2(mn)



2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（ D ）A．正三角形

B．等腰直角三角形

C．等腰三角形，但不是直角三角形 D．直角三角形，但不是等腰三角形 3．设fx

4x

4x2

，利用课本中推导等差

数列前n项和方法，求f111f211…f10

11的值为 5 . 4．已知数列a1

n满足a1

2

，an1a1

n

n2n

，求an.

【解】由条件知：

听课随笔

a1111

n1an

n2

nn(n1)nn1

分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

(112)(1213)(1314)(11n1n

)

所以a1na11

n

a12，a11311n21n2n



5．已知a3n1

13，an13n2

an (n1)，

求an.

【解】

a(n1)1n

33(n1)23(n2)13(n2)232131 32232

a1



3n43n53n17

3n4

825363n1





【师生互动】





学生质疑

教师释疑

本文来源：https://www.wddqxz.cn/d3f008f8cec789eb172ded630b1c59eef9c79a92.html