数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)

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求数列{an}的前n项和的方法

（1）倒序相加法

（2）公式法

此种方法主要针对类似等差数列中

此种方法是针对于有公式可套的数列，如ana1an1a2LL,具有这样特点的

等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找数列．

出对应的公式． 例：等差数列求和

公式： Sna1a2Lan

①等差数列：

a1(a1d)L[a1(n1)d] ①

Sn(a1an)n(nn

2na1)

12

d 把项的次序反过来，则：

nan(n1)

Snan(and)L[an(n1)d]②

n2

d ①+②得：

SmnSmSnmnd

64444447n个

44444482Sna1an(a1an)L(a1an)

SnSnm

Sm

m

(n2m,m,nN*nn2) n(a1an)

②等比数列：

Sn(a1an)

n

Sa1(1qn)a1anq2

n1q1q

；(q1)



SmnSnSn

mq ③1+2+3+……+n =

n(n1)

2

； 122232

Ln2



1

6

n(n1)(2n1) 132333Ln3 (123Ln)2





14

n2

(n1)2 （3）错位相减法

（4）分组化归法

此种方法主要用于数列{anbn}的求和，此方法主要用于无法整体求和的数列，可

其中{a将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分n}为等差数列，{bn}是公比为q的别进行求和，再综合求出所有项的和．

等比数列，只需用SnqSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．

例：试化简下列和式：

例：求数列1，1

12，111

S24

，……， n12x3x2Lnxn1(x0)

解：①若x=1，则Sn(n1)

11n=1+2+3+…+n = 2



214+……+1

2n1的和. ②若x≠1,则Sn12x3x2

Lnx

n1



解：∵ an1

1211

4L2

n1 xSx23x3Lnxn

nx2

1(1

2)n

两式相减得：

21 112n12

(1x)S2n1xx+…+xn1nxn

∴S11n

n1(12)(1

21

4

)L 

1x1x

nxn (111xnnxn

214L12n1)

∴ Sn(1x)2

1x



(21)(211

2)(222)

L(2

12n1

) 2n(1111

24L2

n1)


2n21

2

n1

（5）奇偶求和法

（6）裂项相消法

此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑此方法主要针对

符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，1最后进行综合．

a1L1

这样的求和，其中1a2a2a3an1an

{an}是等差数列．

例：求和 例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求

Sn1357L(1)n1(2n1)

S1111n

aL 解：当n = 2k (kN1a2a2a3a3a4an1an

+)时,

解：

SnS2k(13)(57)

111ada

k

L[(4k3)(4k1)] ∵agk

kak1ak(akd)dak(akd)

2kn

111d(a

)1(11

) kakddakak1

当n2k1(kN)时，

1SS∴Sn

n2k1S2ka2k2k[(4k1)]

d(1a1)1(11) 1a2da2a3



2k1

1n



L

d(1a1) n1an

综合得：S(1)n1

nn





1d[(1a1)(11a)L(11

)] 1a2a23an1an



1d(1a1

) 1an



n1

a

1[a1(n1)d]









(7)分类讨论

（8）归纳—猜想—证明 此方法是针对数列{an}的其中几项符号此种方法是针对无法求出通项或无法根与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问

据通项求出各项之和的数列，先用不完全题，主要是要分段求. 归纳法猜出Sn的表达式，然后用数学归纳

法证明之.

例：已知等比数列{aq=1

例：求和S2

22+(2n1)2n=1+3+5+… n}中，a1=64，2

，

解：S11，S210，S335，

设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和

S484，S5165，…

Sn.

解：a=an17n观察得：S1n

=n(4n21)（待定系数法） n1q=2 3

∴bn= log2an=7n 证明：（1）当n=1时，

1

3

n(4n21)=1=S1 （1）当n≤7时，bn≥0

∴n=1时成立. 此时，Sn=－

12n2+132

n （2）假设当n=k时，S1

k=

3

k(4k21) （2）当n＞7时，bn<0

则n=k+1时，

此时，S1Sn=

n2k1=Sk+(2k1)2

2－13

2

n+42（n≥8）

本文来源：https://www.wddqxz.cn/d397e95300d8ce2f0066f5335a8102d276a2613e.html