垂径定理及其运用精心筛选

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垂径定理解题应用举例

垂径定理推论一：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。（当以①、③为题设时，“弦”不能是直径。）

1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。

2、 (重庆市)如图1，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°,则∠DCF等于（ ）

A.80° B. 50° C. 40° D. 20°

C

OE

GD

F



3、 (南京市)如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E， GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝ cm .



DNEA

G

MO



F

CB



变式一：圆内两条互相平行的弦AB、CD，其中AB=16cm，CD=12cm，圆的半径为10，求AB、CD间的距离。 CDCD BAOO

BA



4、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。

C



MBA

O

1



D




5、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： AC = BD。

O



AB

CD



6、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。 O CDAB

7、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？

O



AC DB



8、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

C



BA D



O



2




9、如图，在⊙O中，AB和CD是直径，弦CE∥AB，∠COE = 30°，求∠BOC的度数。

DA

O

E

BC

10、 如图，已知，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD于G， BA的延长线

⌒ 。 交⊙O于E，求证：⌒EF = FGE



F AD

CBG

11、如图，在⊙O中，点O是∠BAC的平分线上的一点，求证：AB = AC。

B



AD

O C

12、在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦， AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA的长

C

OE

3



A



D

B




13、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

图3 图4

14 有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB宽7.2m，拱顶CD高出水面2.4m.现有一艘宽EF为3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗? CD ABFE

4

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